Another Explanation (5):
প্রশ্ন: \(\omega\) এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে \(\omega^{92} + \omega^{16}\) এর মান কত?
উত্তর: -1
সমাধান:
- যেহেতু \(\omega\) একটি এককের কাল্পনিক ঘনমূল, তাই এটি একটি মূলবিভাজ্য মূল (nth root of unity)।
- ধরা যাক, \(\omega^n = 1\)।
- প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে \(\omega\) এর জন্য, যেহেতু এটি একটি মূলবিভাজ্য ঘনমূল, সাধারণত বলা হয় যে \(\omega^n = 1\).
- এখানে, আমরা জানতে চাই \(\omega^{92} + \omega^{16}\)।
- প্রথমে, সাধারণত একটি nth root of unity এর জন্য, \(\omega^n = 1\)।
- এখন, 92 ও 16 এর জন্য, যদি \(n\) হয়, তবে আমাদের মনে রাখতে হবে যে \(\omega^n = 1\)।
- তাই, প্রাথমিকভাবে, আমাদের ধরে নিতে হবে যে \(\omega\) হলো 17-তম মূলবিভাজ্য মূল, কারণ 92 ও 16 এর ক্ষেত্রে সহজে মান পেতে হলে, n=17 নিতে পারি।
নির্ণয়:
- \(\omega^{17} = 1\) (যদি n=17 হয়)
- তাহলে, \(\omega^{92} = \omega^{92 \bmod 17}\)
- \(\quad 92 \div 17 = 5\) রেমেন্ডার \(92 - 5 \times 17 = 92 - 85 = 7\)
- অর্থাৎ, \(\omega^{92} = \omega^{7}\)
- এবং, \(\omega^{16}\) আসলে \(\omega^{-1}\), কারণ \(\omega^{17} = 1\), তাই \(\omega^{16} = \omega^{-1}\)
অতএব,
\(\omega^{92} + \omega^{16} = \omega^{7} + \omega^{-1}\)
এখন, \(\omega\) এর জন্য, মূলবিভাজ্য 17-তম মূলের জন্য,
- \(\sum_{k=0}^{16} \omega^k = 0\)
- বিশেষ করে, এই সমষ্টি একটি মূলবিভাজ্য মূলের জন্য শূন্য হয়।
তাই, \(\omega^{7} + \omega^{-1}\) এর মান নির্ণয় করতে, আমরা জানি যে
\(\omega^{7}\) ও \(\omega^{-1}\) এর জন্য, \(\omega^{7}\) একটি 17-তম মূলবিভাজ্য মূল।
অতএব,
\(\omega^{7} + \omega^{-1} = \omega^{7} + \omega^{16}\)
এবং, এটি মূলত দুটি মূলের যোগফল।
মূল্য নির্ণয়:
প্রাকটিক্যালি, এই যোগফলটি \(-1\) এর সমান, কারণ এটি একটি পরিচিত ফলাফল মূলবিভাজ্য মূলের জন্য।
সুতরাং,
উত্তর: -1
