Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)
উত্তর: \( (0,0) \)
সমাধান:
প্রথমে দেওয়া সমীকরণ হলো একটি হাইপারবোলা \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)। এই সমীকরণের জন্য, আমরা দেখতে পারি যে এটি কিভাবে অবস্থিত।
তাহলে, সমীকরণে \( x=0 \) স্থাপন করে দেখুন:
\[
\frac{0^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
\]
\[
0 - \frac{y^2}{b^2} = 1
\]
\[
- \frac{y^2}{b^2} = 1
\]
\[
\frac{y^2}{b^2} = -1
\]
যেহেতু \( y^2 \geq 0 \), তাই \( \frac{y^2}{b^2} \) সর্বদা ধনাত্মক বা শূন্য। কিন্তু এখানে সেটি সমান \( -1 \), যা অসম্ভব। অতএব, \( x=0 \) এর জন্য কোনো বাস্তব সমাধান নেই।
এখন, \( y=0 \) স্থাপন করে দেখুন:
\[
\frac{x^2}{a^2} - \frac{0^2}{b^2} = 1
\]
\[
\frac{x^2}{a^2} = 1
\]
\[
x^2 = a^2
\]
\[
x = \pm a
\]
এখানে, \( (a,0) \) এবং \( (-a,0) \) বিন্দুগুলি সমাধান। অর্থাৎ, এই বিন্দুগুলি হাইপারবোলার অস্তিত্বের মূল বিন্দু বা কেন্দ্রে অবস্থিত।
তবে, এই প্রশ্নের মূল লক্ষ্য হলো হাইপারবোলার কেন্দ্র বিন্দুটি। সাধারণত, হাইপারবোলার কেন্দ্রে থাকেন যেখানে সমীকরণে \( x=0 \) ও \( y=0 \) স্থাপন করলে সমাধান হয়।
তাহলে, সমীকরণে \( x=0 \) ও \( y=0 \) স্থাপন করলে:
\[
\frac{0^2}{a^2} - \frac{0^2}{b^2} = 1
\]
\[
0 - 0 = 1
\]
\[
0=1
\]
যা কংক্রিটভাবে অসম্ভব।
অতএব, হাইপারবোলার কেন্দ্রে বিন্দু \( (0,0) \) অবস্থিত কিনা, সেটি বিশ্লেষণ করে দেখা যায় যে, এটি সমীকরণের সঙ্গে মিলছে না। কিন্তু, সাধারণত এই ধরনের হাইপারবোলার কেন্দ্রে বিন্দু \( (0,0) \) অবস্থিত।
তবে, বাস্তবিক অর্থে, এই হাইপারবোলার কেন্দ্র বিন্দুটি হলো \( (0,0) \)।
সুতরাং, উত্তর হলো:
(0,0)
