Another Explanation (5): প্রশ্নের উপস্থাপিত জটিল সংখ্যা \( Z = P + iQ \) এর ক্ষেত্রে নিচের বিবৃতিগুলোর সত্যতা যাচাই করব:
---
**প্রথম বিবৃতি:**
**(i) \( Z - \overline{Z} \) একটি কাল্পনিক সংখ্যা।**
**সমাধান:**
\(\overline{Z} = P - iQ\)
তাই,
\( Z - \overline{Z} = (P + iQ) - (P - iQ) = P + iQ - P + iQ = 2iQ \)
এখানে, \(2iQ\) একটি কাল্পনিক সংখ্যা, কারণ এটি কেবল \(i\) গুণিত।
অর্থাৎ, **বিবৃতি (i) সত্য।**
---
**দ্বিতীয় বিবৃতি:**
**(ii) \( Z \cdot \overline{Z} \) একটি বাস্তব সংখ্যা।**
**সমাধান:**
\[
Z \cdot \overline{Z} = (P + iQ)(P - iQ) = P^2 - (iQ)^2 = P^2 - i^2 Q^2
\]
এখানে, \(i^2 = -1\), তাই:
\[
Z \cdot \overline{Z} = P^2 - (-1) Q^2 = P^2 + Q^2
\]
উপসংহারে, এটি একটি বাস্তব সংখ্যা, কারণ এটি হলো \(P^2 + Q^2\), যা সবসময় ধনাত্মক বা শূন্য হতে পারে।
অর্থাৎ, **বিবৃতি (ii) সত্য।**
---
**তৃতীয় বিবৃতি:**
**(iii) \( Z^{1/n} \) একটি জটিল সংখ্যা যেখানে \( n \) একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।**
**বিশ্লেষণ:**
যেকোনো জটিল সংখ্যার \(n\)-তম মূল (nth root) সাধারণত \(n\)-টি মূলের সমন্বয়ে গঠিত হয় এবং এটি জটিল হতে পারে।
বিশেষত, \( Z \neq 0 \) হলে, \( Z^{1/n} \) সাধারণত \(n\)টি মূলের একটি হতে পারে, যার অর্থ এটি একটি জটিল সংখ্যা।
এছাড়া, যদি \( Z \neq 0 \), তবে \( Z^{1/n} \) অবশ্যই জটিল বা বাস্তব হতে পারে, তবে সর্বোচ্চ সাধারণত এটি জটিলই থাকে।
নোট: \( Z^{1/n} \) এর জন্য মূলত বিভিন্ন শাখার (branch) থাকতে পারে, তবে সাধারণভাবে, এটি একটি জটিল সংখ্যা।
অতএব, **বিবৃতি (iii) সত্য।**
---
**সারসংক্ষেপ:**
সব তিনটি বিবৃতি সত্য।
**উত্তর:**
**i, ii ও iii**
