A={(3n+2)/(2n+1); n∈N} সেটটির সুপ্রিমাম কত?

প্রশ্ন:

Set \(A = \left\{ \frac{3n+2}{2n+1} : n \in \mathbb{N} \right\}\) এর সুপ্রিমাম কত?

উত্তর:

সুপ্রিমাম = 5/3

সমাধান:

আমরা প্রথমে সেটের প্রতিটি উপাদান \(a_n\) নির্ণয় করি:

\[ a_n = \frac{3n + 2}{2n + 1} \quad \text{যেখানে} \quad n \in \mathbb{N} \]

প্রথমত, \(a_n\) এর সীমা নির্ণয় করি যখন \(n \to \infty\):

উপাদানের সংখ্যাগুলোর উচ্চতম ঘাত ও সর্বনিম্ন ঘাতের তুলনা করে, আমরা দেখি:

\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3n + 2}{2n + 1} \]

উচ্চতম ঘাত অনুযায়ী, আমরা numerator এবং denominator-এ \(n\) দিয়ে ভাগ করি:

\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{n}}{2 + \frac{1}{n}} = \frac{3 + 0}{2 + 0} = \frac{3}{2} \]

এখন, সেটের সর্বোচ্চ মান নির্ণয় করি:

প্রতিটি \(a_n\) এর মানের জন্য, আমরা দেখব \(a_n\) এর সর্বোচ্চ মান কোথায় হয়।

অতএব, \(a_{n+1} - a_n\) এর মাধ্যমে আমরা বুঝব কি ধরনের বৃদ্ধি বা হ্রাস হচ্ছে।

অথবা, সহজভাবে, \(a_n\) এর আনুপাতিক গুণফল বিশ্লেষণ করি:

চলুন, \(a_n\) এর মানের জন্য কিছু মান নির্ণয় করি:

• n=1: \(a_1 = \frac{3(1)+2}{2(1)+1} = \frac{5}{3}\)
• n=2: \(a_2 = \frac{3(2)+2}{2(2)+1} = \frac{8}{5}\)
• n=3: \(a_3 = \frac{3(3)+2}{2(3)+1} = \frac{11}{7}\)
• n=4: \(a_4 = \frac{14}{9}\)
• n=5: \(a_5 = \frac{17}{11}\)

এখানে লক্ষ্য করুন:

• \(a_1 = \frac{5}{3} \approx 1.666...\)
• \(a_2 = \frac{8}{5} = 1.6\)
• \(a_3 = \frac{11}{7} \approx 1.571...\)
• \(a_4 = \frac{14}{9} \approx 1.555...\)
• \(a_5 = \frac{17}{11} \approx 1.545...\)

এখানে দেখা যাচ্ছে, \(a_n\) এর মান ক্রমশ কমছে এবং \(\frac{5}{3}\) এর কাছাকাছি আসছে।

এবং, \(a_1 = \frac{5}{3}\) এর মান সর্বোচ্চ।

অতএব, সেটের সর্বোচ্চ মান (supremum) \(a_n\) এর প্রথম মানের সমান, অর্থাৎ:

\[ \sup A = \frac{5}{3} \]

সুতরাং, সুপ্রিমাম হল:

উত্তর: \(\boxed{\frac{5}{3}}\)