cosec² (sec^-1 √5) এর মান-

প্রশ্ন:

প্রশ্ন: \(\csc^2 (\sec^{-1} \sqrt{5})\) এর মান কি?

উত্তর:

সমাধান শুরু করি:

1. ধরা যাক, \( \theta = \sec^{-1} (\sqrt{5}) \)। অর্থাৎ, \[ \sec \theta = \sqrt{5} \]
2. তাহলে, \(\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}\), তাই \[ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}} \]
3. চলুন \(\sin \theta\) নির্ণয় করি। ত্রিকোণমিতিক পরিচিতির মাধ্যমে, \[ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \] অর্থাৎ, \[ \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \] অতএব, \[ \sin \theta = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} \]
4. যেহেতু \(\sec^{-1} \sqrt{5}\) এর মান 0 থেকে \(\pi\) এর মধ্যে এবং \(\sec \theta = \sqrt{5} > 0\), তাই \(\cos \theta > 0\) এবং \(\sin \theta > 0\)। ফলে, \[ \sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}} \]
5. অতএব, \[ \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{1}{\frac{2}{\sqrt{5}}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \]

অতএব, \[ \boxed{ \csc^2 \theta = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{5}{4} } \]