Another Explanation (5): প্রশ্নের বিবরণ অনুযায়ী, অনুবন্ধী (অ্যাঙ্গুলার) জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে নিচের ক্রিয়াগুলির বৈশিষ্ট্যসমূহ যাচাই করতে হবে:
i) \((z_1 + z_2) = z_1 + z_2\)
ii) \(f(z) = z\)
iii) \((z_1 z_2) = z_1 * z_2\)
### বিশ্লেষণ:
**i) অ্যাঙ্গুলার যোগের বৈশিষ্ট্য:**
অ্যাঙ্গুলার যোগের জন্য, ধরা যাক দুটি জটিল সংখ্যা:
\[
z_1 = r_1 e^{i\theta_1}, \quad z_2 = r_2 e^{i\theta_2}
\]
তাহলে,
\[
z_1 + z_2 \neq r_1 e^{i\theta_1} + r_2 e^{i\theta_2}
\]
সাধারণত, যোগের জন্য,
\[
z_1 + z_2 \neq (z_1) + (z_2)
\]
অর্থাৎ, এই বৈশিষ্ট্য সাধারণত সত্য নয়, কারণ যোগের জন্য সরাসরি মানে না যে এটি অ্যাঙ্গুলার যোগ হিসেবেও সমান হবে। তবে, যদি \(z_1, z_2\) একে অপরের অভিন্ন হয় বা একই দিক নির্দেশ করে, তখন এই সমতা সত্য হতে পারে। কিন্তু সাধারণ পরিস্থিতিতে, **এটি ভুল**।
**উপসংহার:**
\[
(z_1 + z_2) = z_1 + z_2
\]
এটি মূলত মৌলিক যোগের জন্য সত্য, তবে অ্যাঙ্গুলার যোগের ক্ষেত্রে সাধারণত সত্য নয়। তবে প্রশ্নের লক্ষ্য যদি শুধুমাত্র মৌলিক সংজ্ঞা অনুযায়ী হয়, তাহলে এটি সত্য বলে ধরা যেতে পারে।
---
**ii) অ্যাঙ্গুলার ফাংশন \(f(z) = z\):**
এটি মূলত identity function, যা প্রতিটি জটিল সংখ্যার জন্য সত্য। অতএব,
\[
f(z) = z
\]
সত্য।
---
**iii) অ্যাঙ্গুলার গুণের বৈশিষ্ট্য:**
অ্যাঙ্গুলার গুণের জন্য,
\[
z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}
\]
অর্থাৎ, গুণের জন্য অ্যাঙ্গুলার মান যোগ হয়।
তাই,
\[
(z_1 z_2) = z_1 * z_2
\]
এটি মূল গুণের সংজ্ঞা অনুসারে সত্য।
---
### উপসংহার:
তালিকাভুক্ত সব বৈশিষ্ট্যই সত্য বা সঠিক, বিশেষ করে:
- প্রথমটি মৌলিক সংজ্ঞা অনুযায়ী সত্য।
- দ্বিতীয়টি স্পষ্ট সত্য।
- তৃতীয়টি অ্যাঙ্গুলার গুণের মূল বৈশিষ্ট্য।
অতএব, সঠিক উত্তর হলো:
**"i, ii ও iii"**।
---
### HTML কোড:
```html
প্রশ্নের উত্তর: i, ii ও iii
```
