sqrt-i = ?

প্রশ্ন: \(\sqrt{-i} = ?\)

উত্তর: \(\pm \frac{1}{\sqrt{2}} (1 - i)\)

সমাধান:

1. প্রথমে, আমরা জানি যে \( -i \) কে রূপান্তর করব তার মানে, আমরা চাই যে \( z = \sqrt{-i} \) হলে, \( z^2 = -i \)।
2. আমরা একটি জটিল সংখ্যা \( z = x + iy \) হিসেবে ধরব, যেখানে \( x, y \) বাস্তব সংখ্যা। তাহলে:
\[ z^2 = (x + iy)^2 = x^2 + 2ixy - y^2 \] এবং তা সমান হবে: \[ x^2 - y^2 + 2ixy = -i \]

অর্থাৎ, বাস্তব অংশ ও কাল্পনিক অংশ সমান করতে হবে:

\[ x^2 - y^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = y^2 \] \[ 2xy = -1 \]

প্রথম সমীকরণ থেকে, \( y = \pm x \)। এখন, দ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি:

\[ 2x (\pm x) = -1 \] \[ \pm 2x^2 = -1 \] অর্থাৎ: \[ 2x^2 = \mp 1 \] কিন্তু, \( x^2 \geq 0 \), তাই: \[ 2x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{1}{2} \] এবং, \( y = \pm x \), অর্থাৎ: \[ y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \quad \text{অথবা} \quad y = \pm x \]

এখন, দুটি সম্ভাব্য সমাধান আসে:

1. যখন \( y = x \): \[ 2x^2 = -1 \quad \text{(অসম্ভব কারণ } x^2 \geq 0\text{)} \] অতএব, এই বিকল্পটি বাদ যাবে। 2. যখন \( y = -x \): \[ 2x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{1}{2} \] \[ x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \] এবং: \[ y = \mp \frac{1}{\sqrt{2}} \]

অর্থাৎ, উভয় সমাধান হচ্ছে:

\[ z = x + iy = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} - i \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} (1 - i) \quad \text{বা} \quad -\frac{1}{\sqrt{2}} (1 - i) \]

অতএব:

\[ \boxed{ \sqrt{-i} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} (1 - i) } \]