Another Explanation (5): সমাধান:
প্রদত্ত বিন্দু \(A(3, -3)\)। আমাদের লক্ষ্য হলো এই বিন্দুর জন্য বর্ণিত বৈশিষ্ট্যগুলো যাচাই করা।
i) ব্যাসার্ধ ভেক্টর ৩√২
ব্যাসার্ধ ভেক্টর হল মূল বিন্দু থেকে অরিজিন পর্যন্ত ভেক্টর।
অর্থাৎ,
\[
r = \sqrt{x^2 + y^2}
\]
এখানে, \(x=3\), \(y=-3\),
সুতরাং,
\[
r = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}
\]
অর্থাৎ, ব্যাসার্ধ ভেক্টর \(3\sqrt{2}\)।
> **প্রথমটি সঠিক।**
ii) ভেক্টর কোণ \(7\pi/2\)
ভেক্টর কোণ হলো অরিজিন থেকে বিন্দু পর্যন্ত ভেক্টরের সাথে ধনুকের কোণ।
কোণ \(\theta\) হিসাব করতে পারি:
\[
\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)
\]
এখানে,
\[
\theta = \arctan\left(\frac{-3}{3}\right) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}
\]
কিন্তু, কোণটি সাধারণত 0 থেকে \(2\pi\) এর মধ্যে নেওয়া হয়।
তাহলে, \(\theta = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{8\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}\)
অর্থাৎ, ভেক্টর কোণ হলো \(\frac{7\pi}{4}\), যা \(7\pi/2\) নয়।
> **প্রথমটি ভুল।**
iii) পোলার স্থানাঙ্ক \((3\sqrt{2}, -\pi/4)\)
পোলার স্থানাঙ্কে,
\[
r = \sqrt{x^2 + y^2} = 3\sqrt{2} \quad \text{(আগের গণনা অনুযায়ী)}
\]
এবং, কোণ \(\theta\) হলো \(\arctan(y/x) = -\pi/4\)।
অর্থাৎ, পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \theta) = (3\sqrt{2}, -\pi/4)\) সঠিক।
> **তাই, তৃতীয়টি সঠিক।**
উপসংহার:
সঠিক বিবৃতি হলো:
**i) এবং iii)**
**অর্থাৎ, উত্তর: "i ও iii"।**
```html
প্রথমটি সঠিক কারণ, ব্যাসার্ধ ভেক্টর গণনা করে দেখানো হয়েছে।
দ্বিতীয়টি ভুল কারণ, ভেক্টর কোণের সঠিক মান \(\frac{7\pi}{4}\), যা \(7\pi/2\) নয়।
তৃতীয়টি সঠিক কারণ, পোলার স্থানাঙ্ক হিসাব অনুযায়ী সঠিক।
```
