f(x)=x^2/(x^2-4) এবং A=int_3^4f(x)dx
A=কত?
Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 4}\) এবং \(A = \int_{3}^{4} f(x) dx\)। এটির মান কত?
উত্তর: \(1 + \ln \left(\frac{5}{3}\right)\)
সমাধান:
প্রথমে, আমাদের দেওয়া ফাংশনটি হলো:
\[
f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 4}
\]
আমরা চাই:
\[
A = \int_{3}^{4} \frac{x^2}{x^2 - 4} dx
\]
প্রথম, numerator ও denominator এর মধ্যে সম্পর্ক বোঝার জন্য, আমরা ফাংশনটিকে আলাদা করে লিখতে পারি:
\[
f(x) = \frac{x^2 - 4 + 4}{x^2 - 4} = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 4} + \frac{4}{x^2 - 4} = 1 + \frac{4}{x^2 - 4}
\]
অতএব,
\[
A = \int_{3}^{4} \left(1 + \frac{4}{x^2 - 4}\right) dx = \int_{3}^{4} 1 dx + 4 \int_{3}^{4} \frac{1}{x^2 - 4} dx
\]
প্রথম ইন্টেগ্রালটি সহজ:
\[
\int_{3}^{4} 1 dx = (4 - 3) = 1
\]
এখন, দ্বিতীয় ইন্টেগ্রালটি সমাধান করি:
\[
I = \int_{3}^{4} \frac{1}{x^2 - 4} dx
\]
এখানে, ডি-ফাংশনটি হলো:
\[
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
\]
তাই Partial Fraction decomposition:
\[
\frac{1}{x^2 - 4} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2}
\]
মুল্য নির্ণয় করি:
\[
1 = A(x + 2) + B(x - 2)
\]
সুতরাং,
\[
1 = A x + 2A + B x - 2 B = (A + B) x + (2A - 2B)
\]
এই সমীকরণের জন্য:
\[
A + B = 0 \quad \Rightarrow \quad B = -A
\]
\[
2A - 2B = 1
\]
প্রতিস্থাপন করি \(B = -A\):
\[
2A - 2(-A) = 1 \Rightarrow 2A + 2A = 1 \Rightarrow 4A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{4}
\]
অতএব,
\[
B = - \frac{1}{4}
\]
সুতরাং,
\[
\frac{1}{x^2 - 4} = \frac{1/4}{x - 2} - \frac{1/4}{x + 2}
\]
এখন,
\[
I = \int_{3}^{4} \left( \frac{1/4}{x - 2} - \frac{1/4}{x + 2} \right) dx = \frac{1}{4} \int_{3}^{4} \frac{1}{x - 2} dx - \frac{1}{4} \int_{3}^{4} \frac{1}{x + 2} dx
\]
প্রতিটি ইন্টেগ্রাল আলাদা করে সমাধান করি:
\[
I_1 = \int_{3}^{4} \frac{1}{x - 2} dx = \left[ \ln|x - 2| \right]_3^4
\]
\[
I_2 = \int_{3}^{4} \frac{1}{x + 2} dx = \left[ \ln|x + 2| \right]_3^4
\]
অতএব,
\[
I = \frac{1}{4} \left( \ln|x - 2| \right)_3^4 - \frac{1}{4} \left( \ln|x + 2| \right)_3^4
\]
মূল্য নির্ণয় করি:
\[
I = \frac{1}{4} \left( \ln|4 - 2| - \ln|3 - 2| \right) - \frac{1}{4} \left( \ln|4 + 2| - \ln|3 + 2| \right)
\]
সরলীকরণ:
\[
I = \frac{1}{4} \left( \ln 2 - \ln 1 \right) - \frac{1}{4} \left( \ln 6 - \ln 5 \right)
\]
জানি \(\ln 1 = 0\), তাই:
\[
I = \frac{1}{4} \ln 2 - \frac{1}{4} (\ln 6 - \ln 5) = \frac{1}{4} \ln 2 - \frac{1}{4} \ln 6 + \frac{1}{4} \ln 5
\]
একত্রিত করি:
\[
I = \frac{1}{4} (\ln 2 + \ln 5 - \ln 6) = \frac{1}{4} \left( \ln (2 \times 5) - \ln 6 \right) = \frac{1}{4} \left( \ln 10 - \ln 6 \right)
\]
\[
I = \frac{1}{4} \ln \left( \frac{10}{6} \right) = \frac{1}{4} \ln \left( \frac{5}{3} \right)
\]
অতএব,
\[
A = \int_{3}^{4} f(x) dx = 1 + 4 \times I = 1 + 4 \times \frac{1}{4} \ln \left( \frac{5}{3} \right) = 1 + \ln \left( \frac{5}{3} \right)
\]
**উত্তর:**
\[
\boxed{
A = 1 + \ln \left( \frac{5}{3} \right)
}
\]
