তিনটি ভেক্টর A,B এবং C এর ক্ষেত্রে যদি A.B=A.C , A×B=A×C , এবং A≠ 0ভেক্টর হয়। নিচের কোনটি সঠিক? 

প্রদত্ত শর্তগুলি হলো:

• \(A \cdot B = A \cdot C\)
• \(A \times B = A \times C\)
• \(A \neq 0\)

প্রথমত, \(A \cdot B = A \cdot C\) থেকে আমরা পাই:

\[A \cdot (B - C) = 0\]

এবং দ্বিতীয়ত, \(A \times B = A \times C\) থেকে:

\[A \times (B - C) = 0\]

একটি ভেক্টর \(D\) এর জন্য, যদি \(A \times D = 0\), তবে বা \(A = 0\) বা \(D\) হল \(A\) এর সাথে সমান্তরাল। যেহেতু \(A \neq 0\), সুতরাং \(B - C\) অবশ্যই \(A\) এর সাথে সমান্তরাল। অর্থাৎ,

\[B - C = \lambda A\]

যেখানে \(\lambda\) একটি স্কেলার। এখন, \(A \cdot (B - C) = 0\) থেকে:

\[A \cdot (\lambda A) = \lambda (A \cdot A) = 0\]

এখানে, যেহেতু \(A \neq 0\), \(A \cdot A > 0\) (অর্থাৎ, \(A\) এর স্ব-ডট প্রোডাক্ট শূন্য নয়)। তাই, \(\lambda (A \cdot A) = 0\) থেকে \(\lambda = 0\)।

অর্থাৎ, \(\lambda = 0\), ফলে:

\[B - C = 0 \Rightarrow B = C\]

উত্তর: B = C