(x-1/x)^16 এর বিস্তৃতিতে মধ্য পদের মান কত?
Another Explanation (5): প্রশ্নের জন্য: \((x - \frac{1}{x})^{16}\) এর বিস্তৃতিতে মধ্য পদের মান কত?
সমাধান:
প্রথমে, বিস্তৃতি লিখি:
\[
(x - \frac{1}{x})^{16} = \sum_{k=0}^{16} \binom{16}{k} x^{16 - k} \left(-\frac{1}{x}\right)^k
\]
এখানে,
\[
= \sum_{k=0}^{16} \binom{16}{k} x^{16 - k} \times (-1)^k \times x^{-k}
\]
একত্রিত করে:
\[
= \sum_{k=0}^{16} \binom{16}{k} (-1)^k x^{16 - 2k}
\]
মধ্য পদের জন্য, আমরা এমন \(k\) খুঁজব যেখানে পদের শক্তি \(16 - 2k = 0\):
\[
16 - 2k = 0 \Rightarrow 2k = 16 \Rightarrow k = 8
\]
অর্থাৎ, মধ্য পদের মান হবে যখন \(k=8\):
\[
\text{মধ্য পদের মান} = \binom{16}{8} (-1)^8
\]
অতএব,
\[
\binom{16}{8} = \frac{16!}{8! \times 8!}
\]
গণনা করি:
\[
16! = 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8!
\]
অতএব,
\[
\binom{16}{8} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8!}{8! \times 8!} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{8!}
\]
প্রথমে, সরাসরি গণনা:
\[
\binom{16}{8} = 12870
\]
এবং,
\[
(-1)^8 = 1
\]
অতএব,
মধ্য পদের মান = \(\boxed{12870}\)
উত্তর: 12870
