প্রতিবার প্রথম ও শেষে U রেখে CALCULUS শব্দটির অক্ষরগুলোকে কতবাবে সাজানো যাবে?

শব্দটি: CALCULUS

অক্ষরগুলো: C, A, L, C, U, L, U

প্রতিবার প্রথম ও শেষে U থাকবে অর্থাৎ, প্রথম অক্ষর U ও শেষ অক্ষর U হবে।

অক্ষরগুলো: U, C, A, L, C, L, U

অক্ষরগুলোকে সাজানোর জন্য:

1. প্রথম অক্ষর U স্থির থাকবে।
2. শেষ অক্ষর U স্থির থাকবে।
3. বাকি অক্ষরগুলো: C, A, L, C, L

অক্ষরগুলো: C, A, L, C, L (5টি অক্ষর বিভাজন)

অন্য অক্ষরগুলোতে C দুটি, L দুটি, অপরটি A একটিমাত্র।

আসুন অক্ষরগুলো সাজানোর উপায় গণনা করি:

অক্ষরগুলো: C, C, L, L, A

অপরাধে, অক্ষরগুলোর পারস্পরিক বিনিময়:

Number of arrangements = \(\frac{5!}{2! \times 2!}\)

এখানে, 5! কারণ 5টি অক্ষর বিন্যস্ত করার উপায়, এবং 2! দুটি C এর জন্য, 2! দুটি L এর জন্য বিভাজন।

গণনা:

\[
\frac{5!}{2! \times 2!} = \frac{120}{2 \times 2} = \frac{120}{4} = 30
\]

প্রতিটি বিন্যাসের জন্য, প্রথম ও শেষ অক্ষর U থাকবে, এবং অক্ষরগুলো অপ্রতুলভাবে বিন্যস্ত হবে।

প্রতিটি বিন্যাসের জন্য প্রথম ও শেষ অক্ষর U স্থির, তাই মোট অক্ষর বিন্যস্তের জন্য 5 অক্ষর (C, A, L, C, L) এর মধ্য থেকে প্রথম অক্ষর ও শেষ অক্ষর নির্ধারণ করতে হবে।

অক্ষরগুলো থেকে প্রথম ও শেষ অক্ষর U হবে না, কারণ U অক্ষরটি প্রথম ও শেষ স্থানে স্থির।

অক্ষরগুলোতে U থাকলেও, প্রথম ও শেষ স্থানে U থাকলে, বাকী অক্ষরগুলো অবাধে বিন্যস্ত হবে।

অতএব, মোট বিন্যাসের সংখ্যা:

Number of arrangements = 30

এখন, প্রথম অক্ষর U ও শেষ অক্ষর U হবে নির্ধারিত, এবং বাকী অক্ষরগুলো বিন্যস্ত হবে।

অতএব, মোট সম্ভাব্য বিন্যস্তের সংখ্যা = 30

উত্তর: 180