A+B+C=π/2 হল???—

1. tan(B+C)= cotA
2. tan(A+B-C)=cot 2C
3. tanA.tanB+tanB.tanC+tanC.tanA=1

নিচের কোনটি সঠিক? 

প্রশ্ন:

যদি \(A + B + C = \frac{\pi}{2}\) হয়, তাহলে নিচের কোনটি সঠিক?

1. \(\tan(B+C) = \cot A\)
2. \(\tan(A + B - C) = \cot 2C\)
3. \(\tan A \cdot \tan B + \tan B \cdot \tan C + \tan C \cdot \tan A = 1\)

উত্তর:

উপরের তিনটি বিবৃতি যাচাই করতে হলে আমরা প্রথমে দেওয়া শর্ত \(A + B + C = \frac{\pi}{2}\) থেকে বিভিন্ন সমীকরণ নির্ণয় করব।

প্রথম বিবৃতি: \(\tan(B+C) = \cot A\)

আমরা জানি, \(A + B + C = \frac{\pi}{2}\) থেকে,

\(A = \frac{\pi}{2} - (B + C)\)

তাহলে,

\(\cot A = \cot \left(\frac{\pi}{2} - (B + C)\right)\)

চালু করি, \(\cot (\frac{\pi}{2} - x) = \tan x\), তাই, \[ \cot A = \tan(B + C) \] এবং, এটি সরাসরি বিবৃতির সাথে সমান। তাই, \[ \boxed{ \text{বলি: } \tan(B + C) = \cot A \text{ সত্য।} } \]

দ্বিতীয় বিবৃতি: \(\tan(A + B - C) = \cot 2C\)

আসুন, \(A + B - C\) এর মান নির্ণয় করি।

তেহলে, \[ A + B - C = (A + B + C) - 2C = \frac{\pi}{2} - 2C \] তাহলে, \[ \tan(A + B - C) = \tan \left(\frac{\pi}{2} - 2C \right) \] এবং, \(\tan \left(\frac{\pi}{2} - x \right) = \cot x\), তাই, \[ \tan(A + B - C) = \cot 2C \] অর্থাৎ, দ্বিতীয় বিবৃতিও সত্য।

তৃতীয় বিবৃতি: \(\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A = 1\)

এটি একটি সাধারণ সূত্র নয়, তাই চেক করি।

ধরা যাক, \(A = B = C = \frac{\pi}{6}\), তাহলে, \[ A + B + C = \frac{\pi}{2} \quad \text{সঠিক।} \] তাহলে, \[ \tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] সুতরাং, \[ \tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A = 3 \times \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 3 \times \frac{1}{3} = 1 \] এখানে এটি সত্য। আবার অন্য মানে চেক করলে, এটি সবসময় সত্য নয়। সাধারণত, এটি একটি পরিচিত সমীকরণ নয়। তবে, উদাহরণ দিয়ে দেখা যায় যে, এটি সত্য।

উপসংহার:

প্রথম ও দ্বিতীয় বিবৃতি সঠিক, এবং তৃতীয় বিবৃতি সাধারণত সত্য বলে মনে হয়, বিশেষ করে \(A = B = C = \frac{\pi}{6}\) এর জন্য।

অতএব, উত্তর হলো: "i, ii ও iii"