z₁=-1 - i√3 এবং z₂=√3 - i  হলে Arg(z₁z₂) এর মান কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(z_1 = -1 - i\sqrt{3}\) এবং \(z_2 = \sqrt{3} - i\) হলে \(\operatorname{Arg}(z_1 z_2)\) এর মান কত? উত্তর: \(-\frac{5\pi}{6}\) সমাধান: প্রথমে, \(z_1\) ও \(z_2\) এর আর্গুমেন্ট নির্ণয় করি। 1. \(z_1 = -1 - i\sqrt{3}\) \[ \text{তালিকা}:\quad x_1 = -1,\quad y_1 = -\sqrt{3} \] \[ \operatorname{Arg}(z_1) = \theta_1 = \tan^{-1}\left(\frac{y_1}{x_1}\right) \] চিহ্নের ভিত্তিতে: \[ x_1 < 0,\quad y_1 < 0 \Rightarrow \text{তালিকা তৃতীয় চ quadrant} \] \[ \theta_1 = \tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{-1}\right) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \] এখন, যেহেতু চতুর্থ বা প্রথম চতুর্থ চতুর্থ চ quadrant নয়, এটি তৃতীয় চতুর্থ চ quadrant, যেখানে আর্গুমেন্ট: \[ \operatorname{Arg}(z_1) = \pi + \theta_1 = \pi + \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \] (অথবা, সরাসরি বলি: কারণ \(x_1 < 0\), \(y_1 < 0\), তাই: \[ \operatorname{Arg}(z_1) = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{y_1}{x_1}\right) = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{-1}\right) = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \] সুতরাং, \(\operatorname{Arg}(z_1) = \frac{4\pi}{3}\). 2. \(z_2 = \sqrt{3} - i\) \[ x_2 = \sqrt{3},\quad y_2 = -1 \] \(x_2 > 0,\ y_2 < 0\), তাই চতুর্থ চ quadrant। \[ \operatorname{Arg}(z_2) = - \tan^{-1}\left(\frac{|y_2|}{x_2}\right) = - \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = - \frac{\pi}{6} \] এখন, \[ \operatorname{Arg}(z_1 z_2) = \operatorname{Arg}(z_1) + \operatorname{Arg}(z_2) = \frac{4\pi}{3} + \left(- \frac{\pi}{6}\right) = \frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{6} \] \কম্পোজিট: \[ \frac{4\pi}{3} = \frac{8\pi}{6} \] তাই, \[ \operatorname{Arg}(z_1 z_2) = \frac{8\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \] যাহোক, আর্গুমেন্ট সাধারণত মাপা হয় \(-\pi\) থেকে \(\pi\) এর মধ্যে। \[ \frac{7\pi}{6} > \pi \] অতএব, আর্গুমেন্টকে সমানুপাতিকভাবে মানানসই করি: \[ \frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6} \] অতএব, \[ \operatorname{Arg}(z_1 z_2) = -\frac{5\pi}{6} \] উত্তর: \(\boxed{-\frac{5\pi}{6}}\)