\( \cos\theta+\sin\theta=\sqrt{2} \) হলে, \( \theta \) এর মান কোনটি?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \( \cos\theta + \sin\theta = \sqrt{2} \) হলে, \( \theta \) এর মান কোনটি?

সমাধান:

প্রথমে, আমরা জানি:

\[ \cos\theta + \sin\theta = \sqrt{2} \]

এটি এক ধরণের সমীকরণ যেখানে আমরা এক্সপ্রেশনের মান নির্ণয় করতে পারি। মূলত, আমরা এটিকে রূপান্তর করতে পারি:

\[ \cos\theta + \sin\theta = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos\theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin\theta \right) \]

অর্থাৎ:

\[ \cos\theta + \sin\theta = \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4} \cos\theta + \sin\frac{\pi}{4} \sin\theta \right) \]

এখানে, আমরা অজানা নয় যে:

\[ \cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos (A - B) \]

সুতরাং:

\[ \cos\theta + \sin\theta = \sqrt{2} \cos \left( \theta - \frac{\pi}{4} \right) \]

এখন, সমীকরণটি হয়:

\[ \sqrt{2} \cos \left( \theta - \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \]

দুটি পক্ষ ভাগ করে \( \sqrt{2} \):

\[ \cos \left( \theta - \frac{\pi}{4} \right) = 1 \]

এখন, কসমিনের মান ১ হলে, \(\theta - \frac{\pi}{4}\) এর মান হয়:

\[ \theta - \frac{\pi}{4} = 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \]

অতএব, \(\theta\) এর মান হবে:

\[ \boxed{ \theta = 2n\pi + \frac{\pi}{4} } \]