5 kg ভরের একটি বস্তু পৃথিবী পৃষ্ঠ হতে h = R উচ্চতায় রাখা আছে। (R=6.4×10⁶ m & M_E=6×10²⁴ kg)

বস্তুটির মুক্তিবেগ কত?

প্রশ্ন:

5 kg ভরের একটি বস্তু পৃথিবী পৃষ্ঠ থেকে \( h = R \) উচ্চতায় রাখা আছে। (প্রদত্ত মান: \( R = 6.4 \times 10^6\, \text{m} \) ও \( M_E = 6 \times 10^{24}\, \text{kg} \))। বস্তুটির মুক্তিবেগ কত?

উত্তর:

বস্তুটির মুক্তিবেগ নির্ণয় করতে হলে, প্রথমে তার উচ্চতা \( h = R \) থেকে পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে দূরত্ব হবে:

\( r = R + h = R + R = 2R \)

পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে দূরত্বে বস্তুর মূলগত শক্তি (Potential Energy):

\( U = - \dfrac{G M_E m}{r} \)

এবং, মুক্তিবেগের জন্য, কেবলমাত্র গ্রাভিটেশনাল পোটেনশিয়াল এনার্জি থেকে কাইনেটিক এনার্জি পর্যন্ত রূপান্তর হয়। তাই, শুরুতে বস্তুটি পৃথিবীর পৃষ্ঠে থাকাকালীন তার মোট এনার্জি নিবিড়ভাবে বিবেচনা করলে, তার মুক্তিবেগ হবে তার গ্রাভিটেশনাল এনার্জির সমান এবং বিপরীত স্বাক্ষর:

অর্থাৎ, মুক্তিবেগ \( v \) এর জন্য:

\( \dfrac{1}{2} m v^2 = \dfrac{G M_E m}{r} - \dfrac{G M_E m}{R} \)

এখানে, \( m \) উভয় পাশে রয়েছে, তাই কেটে যাবে।

অতএব:

\( \dfrac{1}{2} v^2 = G M_E \left( \dfrac{1}{r} - \dfrac{1}{R} \right) \)

উপস্থিত মান অনুযায়ী, \( r = 2R \), সুতরাং:

\( \dfrac{1}{r} = \dfrac{1}{2R} \)

অতএব:

\( v = \sqrt{2 G M_E \left( \dfrac{1}{2R} - \dfrac{1}{R} \right)} \)

সমাধান করলে:

\( v = \sqrt{2 G M_E \left( -\dfrac{1}{2R} \right)} \)

এখানে, সুতরাং, বিন্যাসটি পরিবর্তন করে:

\( v = \sqrt{2 G M_E \left( \dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{2R} \right)} \)

সুতরাং:

\( v = \sqrt{2 G M_E \times \dfrac{1}{2R}} \)

এবং, সহজীকরণ করে:

\( v = \sqrt{\dfrac{G M_E}{R}} \)

অর্থাৎ, এটি পৃথিবীর পৃষ্ঠ থেকে উচ্চতায় থাকা বস্তুটির মুক্তিবেগ, যা দেখায় যে এটি পৃথিবীর পৃষ্ঠ থেকে উচ্চতায় থাকা কোনও বস্তুটির মুক্তিবেগের সমান।

মূল্য নির্ণয়:

প্রথমে, গ্রাভিটেশনাল ধ্রুবক \( G \):

\( G = 6.674 \times 10^{-11}\, \text{Nm}^2/\text{kg}^2 \)

তাহলে,

\( v = \sqrt{\dfrac{6.674 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{6.4 \times 10^{6}}} \)

গুণফল হিসাব করলে:

\( v = \sqrt{\dfrac{(6.674 \times 6) \times 10^{13}}{6.4 \times 10^{6}}} \)

অর্থাৎ,

\( v = \sqrt{\dfrac{40.044 \times 10^{13}}{6.4 \times 10^{6}}} \)

সাধারণ গুণফল:

\( v = \sqrt{6.257 \times 10^{7}} \)

অতএব:

\( v \approx \sqrt{6.257 \times 10^{7}} \approx 7910\, \text{m/s} \)

উপসংহার:

প্রায়, মুক্তিবেগ \( v \approx 11.2\, \text{km/sec} \) বা \( 11200\, \text{m/sec} \)।