ax² + bx + c = 0 সমীকরণের মূলম্বয় sin alpha  ও sinẞ হলে sin² alpha  + sin²ẞ = ?

Another Explanation (5):

প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে: সমীকরণ \(ax^2 + bx + c = 0\) এর মূল \(\alpha\) ও \(\beta\)। আমাদের জানা আছে যে, মূলগুলো সম্পর্কিত কিছু সূত্র।

সমীকরণের মূলের জন্য সূত্র:

• \( \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \)
• \( \alpha \beta = \frac{c}{a} \)

প্রশ্নে উল্লেখ করা হয়েছে: \(\sin \alpha\) ও \(\sin \beta\)। আমাদের লক্ষ্য হলো:

\[ \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta \]

আমরা জানি:

\[ \sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \] অতএব, \[ \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} + \frac{1 - \cos 2\beta}{2} = 1 - \frac{\cos 2\alpha + \cos 2\beta}{2} \] এখন, \(\cos 2\alpha + \cos 2\beta\) এর জন্য সূত্র: \[ \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} \] অতএব, \[ \cos 2\alpha + \cos 2\beta = 2 \cos (\alpha + \beta) \cos (\alpha - \beta) \] এবং, \(\alpha + \beta = -\frac{b}{a}\), তাই: \[ \cos (\alpha + \beta) = \cos \left(-\frac{b}{a}\right) = \cos \frac{b}{a} \] অপরদিকে, \(\cos (\alpha - \beta)\) এর জন্য, আমরা জানি: \[ \cos (\alpha - \beta) = \pm \sqrt{1 - \sin^2 (\alpha - \beta)} \] কিন্তু সরাসরি \(\cos (\alpha - \beta)\) নির্ণয় করতে হলে, আমরা দ্বিগুণ কোণের সূত্র ব্যবহার করতে পারি। তবে, এখানে সহজ উপায় হলো, মূলের সম্পর্ক দিয়ে \(\cos (\alpha - \beta)\) নির্ণয় করা। তবে, আরো সরাসরি পথ হলো, মূলের উপর ভিত্তি করে \(\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta\) এর জন্য সরাসরি একটি সূত্র ব্যবহার করা। অতএব, মূলের উপর ভিত্তি করে, প্রদত্ত সমীকরণ থেকে, আমরা বলতে পারি: \[ \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = 1 - \frac{\cos 2\alpha + \cos 2\beta}{2} \] এবং, \[ \cos 2\alpha + \cos 2\beta = 2 \cos \frac{b}{a} \cos (\alpha - \beta) \] এবং \(\cos (\alpha - \beta)\) এর মান নির্ণয় করতে, আমরা জানি: \[ \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = \frac{(\sin \alpha + \sin \beta)^2 + (\sin \alpha - \sin \beta)^2}{2} \] তবে, এই পথ দীর্ঘ হওয়ায়, মূল সূত্র থেকে সরাসরি জানা যায়: \[ \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = \frac{b^2 - 2ac}{a^2} \] যেহেতু, এটি মূল সূত্র অনুযায়ী নির্ণিত।

অতএব, উত্তর হলো:

\[ \boxed{\frac{b^2 - 2ac}{a^2}} \]