\( n \) এর কোন মানের জন্য \( (1+\frac{x}{2})^n \) এর বিস্তৃতিতে \( x^7 \) এবং \( x^8 \) এর সহগদ্বয় পরস্পর সমান হবে?
Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( n \) এর জন্য কোন মানের জন্য \( (1+\frac{x}{2})^n \) এর বিস্তৃতিতে \( x^7 \) এবং \( x^8 \) এর সহগদ্বয় পরস্পর সমান হবে?
সমাধান:
প্রথমত, আমরা জানি যে, \((1 + \frac{x}{2})^n\) এর বিস্তৃতি বাইনারি শ্রেণিবিন্যাসের সাহায্যে লেখা যায়:
\[
(1 + \frac{x}{2})^n = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n}{k} \left(\frac{x}{2}\right)^k
\]
এখানে, \( \binom{n}{k} \) হলো বিনোমিয়াল কোফিশিয়েন্ট।
প্রতিটি অংশের সহগ:
\[
\text{coefficient of } x^k = \binom{n}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^k
\]
আমাদের লক্ষ্য হলো:
\[
\binom{n}{7} \left(\frac{1}{2}\right)^7 = \binom{n}{8} \left(\frac{1}{2}\right)^8
\]
এখানে, সহগদ্বয় সমান হলে:
\[
\binom{n}{7} \left(\frac{1}{2}\right)^7 = \binom{n}{8} \left(\frac{1}{2}\right)^8
\]
উভয়পাশে \(\left(\frac{1}{2}\right)^7\) গুণ করলে:
\[
\binom{n}{7} = \binom{n}{8} \times \frac{1}{2}
\]
অর্থাৎ,
\[
\binom{n}{7} = \frac{1}{2} \binom{n}{8}
\]
বিনোমিয়াল কোফিশিয়েন্টের সম্পর্ক:
\[
\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}
\]
তাই,
\[
\binom{n}{8} = \binom{n}{n-8}
\]
এবং,
\[
\binom{n}{7} = \binom{n}{n-7}
\]
এখন, মূল সমীকরণটি লিখি:
\[
\binom{n}{n-7} = \frac{1}{2} \binom{n}{n-8}
\]
অর্থাৎ,
\[
\binom{n}{n-7} = \frac{1}{2} \binom{n}{n-8}
\]
অতএব,
\[
\binom{n}{7} = \frac{1}{2} \binom{n}{8}
\]
এখানে,
\[
\binom{n}{7} = \frac{n!}{7! (n-7)!}
\]
\[
\binom{n}{8} = \frac{n!}{8! (n-8)!}
\]
তাই,
\[
\frac{n!}{7! (n-7)!} = \frac{1}{2} \times \frac{n!}{8! (n-8)!}
\]
নিয়ম অনুযায়ী, \( n! \) উভয় পাশে অপ্রতুল থাকায় কাটা যাবে:
\[
\frac{1}{7! (n-7)!} = \frac{1}{2 \times 8! (n-8)!}
\]
এখন, \( (n-7)! \) ও \( (n-8)! \) সম্পর্ক:
\[
(n-7)! = (n-7)(n-8)!
\]
অতএব,
\[
\frac{1}{7! (n-7)(n-8)!} = \frac{1}{2 \times 8! (n-8)!}
\]
দুভর পাশে \( (n-8)! \) ও \( \)অপ্রতুল থাকায় কাটা যাবে:
\[
\frac{1}{7! (n-7)} = \frac{1}{2 \times 8!}
\]
এখন,
\[
\frac{1}{7! (n-7)} = \frac{1}{2 \times 8!}
\]
অর্থাৎ,
\[
7! (n-7) = 2 \times 8!
\]
জানিনা \( 7! \) ও \( 8! \):
\[
7! = 5040
\]
\[
8! = 8 \times 7! = 8 \times 5040 = 40320
\]
অতএব,
\[
5040 (n-7) = 2 \times 40320 = 80640
\]
অতএব,
\[
n - 7 = \frac{80640}{5040} = 16
\]
অতএব,
\[
n = 16 + 7 = 23
\]
উত্তর: \(\boxed{23}\)
