5x - 12y - 9 = 0 সরলরেখার সমান্তরাল, x² + y² - 8x - 10y - 8 = 0 বৃৃৃৃৃৃৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ-

Explanation: Hints: \(ax + by + c = 0\) সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ \(ax + by + k = 0\) কোন বৃত্তের কেন্দ্র হতে সরল রেখার দূরত্ব = ঐ বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\) বৃত্তের কেন্দ্র \((-g, -f)\); ব্যাসার্ধ \(r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}\) Solve: \(5x - 12y - 9 = 0\) সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ, \(5x - 12y + k = 0 \, \, \, \text{(i)}\) \(x^2 + y^2 - 8x - 10y - 8 = 0\) বৃত্তের কেন্দ্র \((4, 5)\) এবং ব্যাসার্ধ, \(r = \sqrt{(-4)^2 + (-5)^2 - (-8)}\) \(= \sqrt{16 + 25 + 8} = \sqrt{49} = 7\) এখন, \((4, 5)\) কেন্দ্র হতে (i) নং রেখার দূরত্ব = বৃত্তের ব্যাসার্ধ \[ \Rightarrow \frac{|4 \times 5 - 12 \times 5 + k|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = 7 \Rightarrow |k - 40| = 91 \] \(\Rightarrow k - 40 = \pm 91 \Rightarrow k = 131 \, \text{অথবা} \, -51\) \(k\) এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই, \(5x - 12y + 131 = 0 \, \text{অথবা} \, 5x - 12y - 51 = 0\) Ans. (A) ব্যাখ্যা: প্রথমে স্পর্শকের সমীকরণ (যা \(5x - 12y - 9 = 0\) রেখার সমান্তরাল) বের করা হয়েছে যেখানে \(k\) হচ্ছে Unknown Value। এরপরে উক্ত বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ধারণ করে স্পর্শক হওয়ার শর্তে \(k\) এর মান বের করে স্পর্শকের সমীকরণকে সমাধান করা হয়েছে।

Another Explanation (5): বৃত্তের সমীকরণ: \(x^2 + y^2 - 8x - 10y - 8 = 0\) 🧮 বৃত্তের কেন্দ্র \(C\) ও ব্যাসার্ধ \(r\) নির্ণয়: * \(x^2 - 8x + y^2 - 10y = 8\) * \((x - 4)^2 - 16 + (y - 5)^2 - 25 = 8\) * \((x - 4)^2 + (y - 5)^2 = 49\) সুতরাং, কেন্দ্র \(C(4, 5)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r = 7\) 📏। দেওয়া আছে, স্পর্শক \(5x - 12y - 9 = 0\) সরলরেখার সমান্তরাল। সুতরাং, স্পর্শকের সমীকরণ \(5x - 12y + k = 0\) হবে। 📝 কেন্দ্র থেকে স্পর্শকের লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে। 🎯 \(\therefore \left| \frac{5 \cdot 4 - 12 \cdot 5 + k}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} \right| = 7\) \(\Rightarrow \left| \frac{20 - 60 + k}{\sqrt{25 + 144}} \right| = 7\) \(\Rightarrow \left| \frac{k - 40}{13} \right| = 7\) \(\Rightarrow k - 40 = \pm 91\) সুতরাং, \(k = 40 + 91 = 131\) অথবা \(k = 40 - 91 = -51\) 🤔 অতএব, নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ \(5x - 12y + 131 = 0\) এবং \(5x - 12y - 51 = 0\) ✅।