int((cosx-xsinx+3x^2))/(xcosx+x^3)dx=? 

প্রশ্ন: \(\int \frac{\cos x - x \sin x + 3x^2}{x \cos x + x^3} dx = ?\)

সমাধান:

ধরি, \(I = \int \frac{\cos x - x \sin x + 3x^2}{x \cos x + x^3} dx\)

আমরা যদি \(x \cos x + x^3\) এর অন্তরকলজ বের করি, তবে পাই:

\(\frac{d}{dx}(x \cos x + x^3) = \cos x - x \sin x + 3x^2\)

সুতরাং, লবের রাশিটি হরের অন্তরকলজ।

আমরা জানি, \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln |f(x)| + c\), যেখানে \(c\) একটি ধ্রুবক।

অতএব,

\(I = \int \frac{\cos x - x \sin x + 3x^2}{x \cos x + x^3} dx = \ln |x \cos x + x^3| + c\)

সুতরাং, উত্তর: \(\ln |x^3 + x \cos x| + c\) 😃