intsin^-1xdx=? 

Explanation:

Another Explanation (5): সমাধান: ধরি, \(I = \int \sin^{-1} x \, dx\) এখানে, \(\sin^{-1} x\) একটি ফাংশন এবং \(1\) অপর একটি ফাংশন। ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস ব্যবহার করে, \(I = \sin^{-1} x \int 1 \, dx - \int \left( \frac{d}{dx} (\sin^{-1} x) \int 1 \, dx \right) dx\) \(I = x \sin^{-1} x - \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot x \, dx\) এখন, \(\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) নির্ণয় করি। ধরি, \(1-x^2 = u\) তাহলে, \(-2x \, dx = du\) সুতরাং, \(x \, dx = -\frac{1}{2} du\) তাহলে, \(\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int \frac{-1/2}{\sqrt{u}} \, du = -\frac{1}{2} \int u^{-1/2} \, du\) \( = -\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{1/2}}{1/2} + C_1 = - \sqrt{u} + C_1 = -\sqrt{1-x^2} + C_1\) সুতরাং, \(I = x \sin^{-1} x - (-\sqrt{1-x^2}) + C\) \(I = x \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2} + C\) অতএব, \(\int \sin^{-1} x \, dx = x \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2} + C\) 🎉