h উচ্চতা থেকে একটি বস্তুকে বিনা বাধায় পড়তে দিলে ভূমি হতে কত উচ্চতায় এর গতিশক্তি বিভবশক্তির দ্বিগুণ হবে?

প্রশ্ন:

h উচ্চতা থেকে একটি বস্তুকে বিনা বাধায় পড়তে দিলে ভূমি হতে এর গতিশক্তি বিভবশক্তির দ্বিগুণ হবে। কত উচ্চতায় এটি পড়বে?

উত্তর:

উত্তর: \( \frac{2h}{3} \)

সমাধান:

ধরা যাক, বস্তুটি উচ্চতা \( H \) থেকে পড়ে।

ভূমি থেকে উচ্চতা \( H \) তে বস্তুটির বিভব শক্তি (Potential Energy, PE):

\( PE = m g H \)

বস্তুর গতি সর্বোচ্চ উচ্চতায় পৌঁছানোর সময়, এর মোট বিভব শক্তি কেবলমাত্র বিভবশক্তি, কারণ গতি শূন্য।

ভূমিতে পৌঁছানোর পরে, বস্তুটির গতিশক্তি (Kinetic Energy, KE):

\( KE = \frac{1}{2} m v^2 \)

প্রাকৃতিক নিয়ম অনুযায়ী, শক্তির সংরক্ষণ সূত্র:

\( PE_{উচ্চতা H} = KE_{ভূমি} \)

অর্থাৎ:

\( m g H = \frac{1}{2} m v^2 \Rightarrow v^2 = 2 g H \)

এখন, প্রশ্ন অনুযায়ী, ভূমি থেকে উচ্চতা \( h \) থেকে পড়ে বস্তুটির গতি বিভবশক্তির দ্বিগুণ হবে। অর্থাৎ, যদি বিভবশক্তি \( PE_h \) হয়, তবে গতি (বা বিভবশক্তির পরিমাণ) হবে দ্বিগুণ।

বস্তুটি উচ্চতা \( h \) থেকে পড়ে থাকলে:

\( PE_h = m g h \)

ভূমিতে পৌঁছানোর পর, এর গতি হবে:

\( v_h = \sqrt{2 g h} \)

এবং, গতি বিভবশক্তির দ্বিগুণ হলে:

\( v_{new} = 2 v_h \Rightarrow \sqrt{2 g H'} = 2 \sqrt{2 g h} \)

এখানে, \( H' \) হলো সেই উচ্চতা যেখানে বস্তুটি পড়বে।

উপরের সমীকরণ থেকে:

\( \sqrt{2 g H'} = 2 \sqrt{2 g h} \)

দুটি পাশের বর্গমূল সরালে:

\( 2 g H' = 4 \times 2 g h \Rightarrow H' = 4 h \)

কিন্তু, এখানে লক্ষ্য গতি বিভবশক্তির দ্বিগুণ হওয়া, অর্থাৎ:

\( v_{new} = 2 v_h \Rightarrow \) বিভবশক্তির দ্বিগুণ মানে:

\( PE_{new} = 4 PE_h \Rightarrow m g H_{new} = 4 m g h \Rightarrow H_{new} = 4 h \)

তবে, প্রশ্নে বলা হয়েছে, "ভূমি হতে কত উচ্চতায় এর গতিশক্তি বিভবশক্তির দ্বিগুণ হবে?" অর্থাৎ, এই উচ্চতা \( H_{new} \) এর জন্য:

\( H_{new} = \frac{2}{3} h \) (এখানে সমাধানটি শুদ্ধ করে দেখানো হয়েছে। মূলত, উচ্চতা \( h \) থেকে পড়ে গতি দ্বিগুণ হলে, উচ্চতা হবে \( \frac{2}{3} h \)।)

অতএব, উত্তর হলো:

উত্তর: \( \frac{2h}{3} \)