Another Explanation (5): প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে, একটি রকেট কত দ্রুত চললে এর দৈর্ঘ্য আদি দৈর্ঘ্যের এক চতুর্থাংশ হবে। এটি আপেক্ষিকতা তত্ত্বের সময়ের ডেল্টা বা লেন্সের জন্য সমাধান করব।
ধরা যাক:
- মূল দৈর্ঘ্য \( L_0 \)
- চলমান অবস্থায় দৈর্ঘ্য \( L \)
- চলন্ত বেগ \( v \)
- আদি দৈর্ঘ্য \( L_0 \)
- লেন্সের জন্য লেন্সের ফ্যাক্টর \( \gamma \)
আধুনিক আপেক্ষিকতা অনুযায়ী, চলন্ত অবস্থায় দৈর্ঘ্য:
\[
L = \frac{L_0}{\gamma}
\]
যেখানে,
\[
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}
\]
প্রশ্ন অনুযায়ী:
\[
L = \frac{1}{4} L_0
\]
অর্থাৎ,
\[
\frac{L_0}{\gamma} = \frac{1}{4} L_0
\]
অতএব,
\[
\frac{1}{\gamma} = \frac{1}{4}
\]
অর্থাৎ,
\[
\gamma = 4
\]
এখন,
\[
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 4
\]
অর্থাৎ,
\[
\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{4}
\]
এখান থেকে,
\[
1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{16}
\]
অতএব,
\[
\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}
\]
অর্থাৎ,
\[
v^2 = \frac{15}{16} c^2
\]
অতএব,
\[
v = c \sqrt{\frac{15}{16}} = c \times \frac{\sqrt{15}}{4}
\]
প্রতিশ্রুতিসম্পন্ন মান:
\[
c \approx 3.00 \times 10^8\, \text{m/s}
\]
সুতরাং,
\[
v = 3.00 \times 10^8 \times \frac{\sqrt{15}}{4}
\]
\(\sqrt{15} \approx 3.873\),
অতএব,
\[
v \approx 3.00 \times 10^8 \times \frac{3.873}{4} = 3.00 \times 10^8 \times 0.96825 \approx 2.90 \times 10^8\, \text{m/s}
\]
এখানে, উত্তর:
2.90×108 ms-1
