2Ā ও Ā ভেক্টরদ্বয় পরস্পরের সঙ্গে একটি নির্দিষ্ট কোণে আনত। প্রথম ভেক্টরকে দ্বিগুণ করলে লব্ধির মান তিনগুণ বৃদ্ধি হয়। ভেক্টরদ্বয়ের অন্তর্বর্তী কোণ কত?

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় 🧐

প্রশ্নানুসারে:

দুটি ভেক্টর \(2\vec{A}\) এবং \(\vec{A}\) একটি নির্দিষ্ট কোণে আনত আছে। প্রথম ভেক্টর \(2\vec{A}\)-কে দ্বিগুণ করলে লব্ধির মান তিনগুণ হয়। 🤔

ধরি,

* ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ = \(\theta\) * প্রথম ক্ষেত্রে লব্ধি \(R_1\) এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে লব্ধি \(R_2\)।

প্রথম ক্ষেত্রে লব্ধির মান:

\(R_1 = \sqrt{(2A)^2 + A^2 + 2 \cdot 2A \cdot A \cdot \cos{\theta}}\)
\(R_1 = \sqrt{4A^2 + A^2 + 4A^2 \cos{\theta}}\)
\(R_1 = \sqrt{5A^2 + 4A^2 \cos{\theta}}\) ...(1)

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে লব্ধির মান:

প্রথম ভেক্টরকে দ্বিগুণ করলে তা \(4\vec{A}\) হয়।
\(R_2 = \sqrt{(4A)^2 + A^2 + 2 \cdot 4A \cdot A \cdot \cos{\theta}}\)
\(R_2 = \sqrt{16A^2 + A^2 + 8A^2 \cos{\theta}}\)
\(R_2 = \sqrt{17A^2 + 8A^2 \cos{\theta}}\) ...(2)

প্রশ্নমতে:

\(R_2 = 3R_1\)
\(\sqrt{17A^2 + 8A^2 \cos{\theta}} = 3\sqrt{5A^2 + 4A^2 \cos{\theta}}\) উভয় দিকে বর্গ করে পাই,
\(17A^2 + 8A^2 \cos{\theta} = 9(5A^2 + 4A^2 \cos{\theta})\)
\(17A^2 + 8A^2 \cos{\theta} = 45A^2 + 36A^2 \cos{\theta}\)
\(28A^2 \cos{\theta} = -28A^2\)
\(\cos{\theta} = -1\)
\(\theta = \cos^{-1}(-1)\)
\(\theta = 180^\circ\) 🎉

অতএব, ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(180^\circ\) ।

```