int_0^1 (1-x)/(1+x) dx=?

আমরা \(\int_0^1 \frac{1-x}{1+x} dx\) এর মান নির্ণয় করব।

প্রথমে, লবকে হর দিয়ে ভাগ করে পাই:

\(\frac{1-x}{1+x} = \frac{-(x+1) + 2}{1+x} = -1 + \frac{2}{1+x}\)

সুতরাং, \(\int_0^1 \frac{1-x}{1+x} dx = \int_0^1 \left(-1 + \frac{2}{1+x}\right) dx\)

এখন, ইন্টিগ্রেশন করি:

\(\int_0^1 -1 dx = -x \Big|_0^1 = -1 - 0 = -1\)

এবং, \(\int_0^1 \frac{2}{1+x} dx = 2 \int_0^1 \frac{1}{1+x} dx = 2 \left[ \ln|1+x| \right]_0^1 = 2 (\ln(2) - \ln(1)) = 2 \ln(2) - 2(0) = 2\ln(2)\)

তাহলে, \(\int_0^1 \frac{1-x}{1+x} dx = -1 + 2\ln(2) = 2\ln(2) - 1\)

যেহেতু \(\ln\) মানে \(\log_e\), তাই উত্তরটি হলো \(2\log_e 2 - 1\)। 🎉