Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(-\int_{2}^{1} \ln x\, dx\) এর মান কত?
সমাধান:
প্রথমে, ইন্টিগ্রালটির মান নির্ণয় করি:
\[
I = \int_{2}^{1} \ln x\, dx
\]
প্রথমে, ইন্টিগ্রালটির অংকন পরিবর্তন করি:
\[
I = - \int_{1}^{2} \ln x\, dx
\]
এখন, \(\int \ln x\, dx\) এর মান নির্ণয় করি। এর জন্য, ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস ব্যবহার করি:
প্রতিষ্ঠান:
\[
u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x} dx
\]
\[
dv = dx \Rightarrow v = x
\]
তাহলে,
\[
\int \ln x\, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - \int 1\, dx = x \ln x - x + C
\]
এখন, মূল ইন্টিগ্রালটির সীমা প্রয়োগ করি:
\[
I = - \left[ x \ln x - x \right]_{1}^{2}
\]
অর্থাৎ,
\[
I = - \left( (2 \ln 2 - 2) - (1 \ln 1 - 1) \right)
\]
দ্রষ্টব্য: \(\ln 1 = 0\), তাই,
\[
I = - \left( 2 \ln 2 - 2 - (0 - 1) \right) = - \left( 2 \ln 2 - 2 + 1 \right)
\]
\[
I = - \left( 2 \ln 2 - 1 \right)
\]
অতএব, মূল প্রশ্নের মান:
\[
-\int_{2}^{1} \ln x\, dx = - I = - \left( - (2 \ln 2 - 1) \right) = 2 \ln 2 - 1
\]
উত্তর: \(\boxed{2 \ln 2 - 1}\)
