Explanation: প্রশ্ন বিশ্লেষণ: এখানে \(x^3 + bx^2 - ax + 1 = 0\) সমীকরণের একটি মূল -1 এবং অন্য মূল গুলো সমান হলে \(a\) ??র মান নির্ণয় করতে বলা হয়েছে। অপশন বিশ্লেষণ: A. 2: ভুল, এটি সঠিক নয়। B. 0: ভুল, এটি সঠিক নয়। C. 1: সঠিক, এর মান \(a = 1\) হবে কারণ মূল সমীকরণের মূলগুলো \(x = -1\) এবং অন্য দুটি সমান হবে। D. -1: ভুল, এটি সঠিক নয়। E. 3: ভুল, এটি সঠিক নয়। নোট: সমীকরণের মূল গুলি নির্ণয় করার জন্য প্রথমে তার একক মূল গুলি ব্যবহার করতে হবে।
Another Explanation (5): ```html
সমাধান:
দেওয়া আছে, \(x^3 + bx^2 - ax + 1 = 0\) সমীকরণের একটি মূল \(-1\)। ধরি, অন্য মূল দুইটি \(\alpha\)।
যেহেতু \(-1\) একটি মূল, তাই \((-1)\) দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হবে। সুতরাং,
\[(-1)^3 + b(-1)^2 - a(-1) + 1 = 0\]
\[-1 + b + a + 1 = 0\]
\[b + a = 0 \implies b = -a\]
এখন, মূল তিনটি \(-1, \alpha, \alpha\)।
আমরা জানি, মূলগুলোর যোগফল \( = -\frac{\text{x}^2 \text{ এর সহগ}}{\text{x}^3 \text{ এর সহগ}}\)
সুতরাং, \(-1 + \alpha + \alpha = -b\)
\(-1 + 2\alpha = -(-a)\)
\(-1 + 2\alpha = a\)
\[2\alpha = a + 1 \implies \alpha = \frac{a+1}{2}\]
আবার, মূলগুলোর গুণফল \( = -\frac{\text{ধ্রুবক পদ}}{\text{x}^3 \text{ এর সহগ}}\)
সুতরাং, \((-1) \cdot \alpha \cdot \alpha = -1\)
\[\alpha^2 = 1\]
\[\alpha = \pm 1\]
যদি \(\alpha = 1\) হয়, তবে
\[1 = \frac{a+1}{2}\]
\[2 = a + 1\]
\[a = 1\]
যদি \(\alpha = -1\) হয়, তবে
\[-1 = \frac{a+1}{2}\]
\[-2 = a + 1\]
\[a = -3\]
কিন্তু, যদি \(a = -3\) হয়, তবে মূলগুলো \(-1, -1, -1\) হবে। সেক্ষেত্রে \(b = 3\) হবে এবং প্রদত্ত সমীকরণটি হবে: \(x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0\) বা \((x+1)^3 = 0\)।
যেহেতু প্রশ্নে বলা আছে অন্য মূলগুলো সমান, তাই \(\alpha = 1\) হলে \(a = 1\) গ্রহণযোগ্য। 🥳
অতএব, \(a = 1\) ✅
```
