\( \sec \theta = \frac{5}{2} \) হলে, \( \tan \theta \) এর মান কত?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: যদি \( \sec \theta = \frac{5}{2} \) হয়, তবে \( \tan \theta \) এর মান কত?

উত্তর: \( \frac{\sqrt{21}}{2} \)

সমাধান:

প্রথমে, আমরা জানি যে:

• \( \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} \)
• \( \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \)

ধাপ 1: \(\cos \theta\) এর মান নির্ণয় করা

প্রদত্ত:

\[ \sec \theta = \frac{5}{2} \] অর্থাৎ: \[ \cos \theta = \frac{1}{\sec \theta} = \frac{2}{5} \]

ধাপ 2: \(\sin \theta\) এর মান নির্ণয় করা

চাপি ট্রিগনোমেট্রিক পরিচিতির সাহায্যে, আমরা জানি যে:

\[ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \] অর্থাৎ: \[ \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(\frac{2}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25} \] অতএব: \[ \sin \theta = \pm \frac{\sqrt{21}}{5} \] ধরা হয়েছে যে, \(\theta\) এর কোণটি প্রথম বা চতুর্থ কোণে যেখানে \(\tan \theta\) ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে। তবে, সাধারণত ধরা হয় \(\sin \theta\) ধনাত্মক হলে।

ধাপ 3: \(\tan \theta\) এর মান নির্ণয় করা

\[ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\pm \frac{\sqrt{21}}{5}}{\frac{2}{5}} = \pm \frac{\sqrt{21}}{2} \] অতএব, \(\tan \theta\) এর মান হলো: \[ \boxed{\frac{\sqrt{21}}{2}} \]