দুটি সমমানের ভেক্টরের লব্ধি যে কোন একটি ভেক্টরের সমান হলে তাদের মধ্যবর্তী কোণ কত?

ধরা যাক, দুটি সমমানের ভেক্টর \( \vec{A} \) এবং \( \vec{B} \)। তাদের মধ্যে লব্ধি হলো:

\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta \]

এবং, যেহেতু ভেক্টর দুটি সমমানের, তাহলে:

\[ |\vec{A}| = |\vec{B}| \]

সুতরাং,

\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}|^2 \cos \theta \]

এবং, লব্ধি যে কোনও একটির সমান হলে, ধরুন এটি \( |\vec{A}| \) বা \( |\vec{B}| \), তাহলে:

\[ |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta = |\vec{A}|^2 \]

অর্থাৎ,

\[ |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta = |\vec{A}|^2 \]

এবং, কারণ \( |\vec{A}| = |\vec{B}| \), এটি সরলীকরণ করে পাই:

\[ |\vec{A}|^2 \cos \theta = |\vec{A}|^2 \]

অতএব,

\[ \cos \theta = 1 \]

অথবা, যদি লব্ধি অন্য কোনও ভেক্টরের সমান হয়, তবে তা অন্য সমাধান অনুসারে, নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে, সমান লব্ধি হলে:

- যদি ভেক্টর দুটি সমমানের হয় এবং তাদের লব্ধি শূন্য হয়, তাহলে কোণ হবে 90°।
- তবে প্রশ্নে যদি বলা হয় যে লব্ধি যে কোনও একটি ভেক্টরের সমান হয়, অর্থাৎ, তারা সমান লব্ধি অর্জন করছে, তখন তাদের মধ্যবর্তী কোণ হয় 120°।

এই ফলাফলটি নিশ্চিত করার জন্য, চলুন, একটি উদাহরণ দিয়ে দেখি:

ধরা যাক, দুটি ভেক্টর \( \vec{A} \) ও \( \vec{B} \), যেখানে:

\[ |\vec{A}| = |\vec{B}| = 1 \]
\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = \cos \theta \]

এবং, যদি তাদের লব্ধি হয় \( \frac{1}{2} \), তাহলে:

\[ \cos \theta = \frac{1}{2} \]
\[ \theta = 60^\circ \]

অথবা, যদি তাদের লব্ধি হয়, যা তাদের মধ্যবর্তী কোণ অনুযায়ী, তাহলে এই কোণ হবে 120°, কারণ:

প্রতিটি ভেক্টরের লব্ধি হয় \( |\vec{A}| |\vec{B}| \cos 120^\circ \)

এবং, যেখানে \( |\vec{A}| = |\vec{B}| \), তাই:

\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}|^2 \cos 120^\circ \]
\[ \Rightarrow \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} \]

অতএব, মধ্যবর্তী কোণ হলে:

\( \theta = 120^\circ \)

সুতরাং, যখন দুটি সমমানের ভেক্টরের লব্ধি তাদের মধ্যবর্তী কোণের সমান হয়, তখন সেই কোণ হয় 120°।