4e^x+9e^-x এর ক্ষুদ্রতম মান কোনটি?

সমাধান:

আমরা প্রদত্ত ফাংশনটি হচ্ছে:

\[f(x) = 4e^x + 9e^{-x}\]

ধাপ 1: ফাংশনের ডেরিভেটিভ নির্ণয়

প্রথমে, \(f(x)\) এর ডেরিভেটিভ নিই:

\[f'(x) = 4e^x - 9e^{-x}\]

ধাপ 2: সমীকরণ সেট করে শূন্য করি

\[f'(x) = 0 \Rightarrow 4e^x - 9e^{-x} = 0\]

এখানে, \(e^x\) কে \(t\) ধরি, অর্থাৎ \(t = e^x > 0\), তাহলে:

\[4t - \frac{9}{t} = 0\]

এখন, সমাধান করি:

\[4t = \frac{9}{t}\]

\[\Rightarrow 4t^2 = 9\]

\[t^2 = \frac{9}{4}\]

\[t = \pm \frac{3}{2}\]

\[t = \frac{3}{2}\]

ধাপ 3: \(x\) এর মান নির্ণয়

\[e^x = \frac{3}{2}\]

এখানে,

\[x = \ln \left(\frac{3}{2}\right)\]

ধাপ 4: ক্ষুদ্রতম মান নির্ণয়

এখন, \(f(x)\) এর মান নির্ণয় করি:

\[f\left(\ln \left(\frac{3}{2}\right)\right) = 4e^{\ln \left(\frac{3}{2}\right)} + 9e^{-\ln \left(\frac{3}{2}\right)}\]

উপাদানগুলো সহজ করি:

\[= 4 \times \frac{3}{2} + 9 \times \frac{2}{3}\]

\[= 4 \times \frac{3}{2} + 9 \times \frac{2}{3}\]

\[= 2 \times 3 + 3 \times 2\]

\[= 6 + 6 = 12\]

অতএব,

ফাংশনের ক্ষুদ্রতম মান হলো: 12