5x² + 7y² = 1 একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।

উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা কত?

প্রশ্নে দেওয়া উপবৃত্তের সমীকরণ হল: \(5x^2 + 7y^2 = 1\)। এটি একটি মানদণ্ডের (standard) উপবৃত্তের সমীকরণ, যেখানে অক্ষের সঙ্গে সমান্তরাল অক্ষের সমীকরণ সাধারণত: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)। অতএব, আমরা সমীকরণটি নিম্নরূপ লিখতে পারি: \[ \frac{x^2}{\frac{1}{5}} + \frac{y^2}{\frac{1}{7}} = 1 \] অর্থাৎ, \[ a^2 = \frac{1}{5} \quad \text{এবং} \quad b^2 = \frac{1}{7} \] অথচ, উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা (eccentricity) \(e\) এর জন্য সূত্র: \[ e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} \] এখানে, \(a^2\) ও \(b^2\) এর মান অনুসারে: \[ e = \sqrt{1 - \frac{\frac{1}{7}}{\frac{1}{5}}} = \sqrt{1 - \frac{1/7}{1/5}} = \sqrt{1 - \frac{1/7 \times 5}{1}} = \sqrt{1 - \frac{5}{7}} \] সরলীকরণ করলে: \[ e = \sqrt{\frac{7 - 5}{7}} = \sqrt{\frac{2}{7}} \] অতএব, উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা হল: \[ \boxed{\sqrt{\frac{2}{7}}} \]