Another Explanation (5):
সমাধান:
দেওয়া সমীকরণ: \( 3x^2 - kx + 4 = 0 \)
ধরা যাক, এর একটি মূল হলো \( \alpha \), এবং অপর মূল হলো \( \beta \)।
প্রশ্ন অনুযায়ী, অপর মূলের ৩ গুণ হলো প্রথম মূল অর্থাৎ:
\[ \beta = 3\alpha \]
প্রথমে, সমীকরণের মূলের সম্পর্ক থেকে জানা যায়:
Sum of মূল: \( \alpha + \beta = \frac{k}{3} \)
প্রতিটা মূলের যোগফল সূত্র:
\[
\alpha + \beta = \frac{k}{3}
\]
এবং, মূলের গুণফল:
\[
\alpha \beta = \frac{4}{3}
\]
এখন, \( \beta = 3\alpha \) প্রতিস্থাপন করে:
\[
\alpha + 3\alpha = \frac{k}{3}
\]
\[
4\alpha = \frac{k}{3}
\]
\[
\Rightarrow \alpha = \frac{k}{12}
\]
মূলের গুণফল থেকে,:
\[
\alpha \beta = \frac{4}{3}
\]
\[
\Rightarrow \alpha \times 3\alpha = \frac{4}{3}
\]
\[
3 \alpha^2 = \frac{4}{3}
\]
\[
\Rightarrow \alpha^2 = \frac{4}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{9}
\]
\[
\Rightarrow \alpha = \pm \frac{2}{3}
\]
এখন, প্রথমে ধরি \( \alpha = \frac{2}{3} \):
\[
\frac{k}{12} = \frac{2}{3}
\]
\[
k = 12 \times \frac{2}{3} = 12 \times \frac{2}{3} = 8
\]
অথবা, \( \alpha = -\frac{2}{3} \):
\[
\frac{k}{12} = -\frac{2}{3}
\]
\[
k = 12 \times -\frac{2}{3} = -8
\]
তাই, দুটি মান পাওয়া যায়: \( k = 8 \) বা \( k = -8 \)
প্রশ্নে বলেছে, মূলের একটি অপরটির 3 গুণ, তাই আমরা প্রথম \( \alpha = \frac{2}{3} \) বিবেচনা করলে, \( k=8 \)। এবং অন্যটি হলে, \( k=-8 \)।
উত্তর: **\( \boxed{8} \)**
