Explanation: প্রশ্ন বিশ্লেষণ: প্রশ্নে লিমিটের প্রশ্ন দেওয়া হয়েছে যেখানে \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{|x|}{x} \right) \) এর মান নির্ধারণ করা হচ্ছে। এই সমীকরণটির জন্য, যখন \( x \) ইতিবাচক, তখন \( \frac{|x|}{x} = 1 \), আর যখন \( x \) ঋণাত্মক, তখন \( \frac{|x|}{x} = -1 \)। তবে, \( x \to 0 \) এর জন্য সঠিক মান নির্ধারণ করা সম্ভব নয় কারণ এটি দুটি ভিন্ন মানের দিকে চলে, অর্থাৎ, একপক্ষ থেকে ১ এবং অন্যপক্ষ থেকে -১। অপশন বিশ্লেষণ: A. লিমিটের অস্তিত্ব নেই: সঠিক, কারণ দুটি ভিন্ন সীমা আছে। B. 1: ভুল, এটি শুধুমাত্র \( x \) যদি ০ এর থেকে ধনাত্মক দিকে প্রবাহিত হয়। C. -1: ভুল, এটি শুধুমাত্র \( x \) যদি ০ এর থেকে ঋণাত্মক দিকে প্রবাহিত হয়। D. কোনটিই নয়: ভুল, A সঠিক। নোট: এই প্রশ্নটি লিমিটের অস্তিত্বের বিষয়ে শেখায়, যেখানে কোনো একক মানে পৌঁছানোর জন্য লিমিটের দুটি পার্শ্ব থেকে অভিগমন শর্ত গুরুত্বপূর্ণ।
Another Explanation (5):
প্রশ্ন: \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{|x|}{x} \right) = ? \)
সমাধান:
আমরা জানি, পরম মান ফাংশন \( |x| \) কে নিম্নোক্তভাবে লেখা যায়:
\[
|x| = \begin{cases}
x, & \text{যদি } x > 0 \\
0, & \text{যদি } x = 0 \\
-x, & \text{যদি } x < 0
\end{cases}
\]
সুতরাং, \( \frac{|x|}{x} \) এর মান \( x \) এর চিহ্নের উপর নির্ভর করে।
যখন \( x \to 0^+ \) (অর্থাৎ, \( x \), 0 এর দিকে ডান দিক থেকে অগ্রসর হয়, যেখানে \( x > 0 \)):
\[
\lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = \lim_{x \to 0^+} 1 = 1
\]
আবার, যখন \( x \to 0^- \) (অর্থাৎ, \( x \), 0 এর দিকে বাম দিক থেকে অগ্রসর হয়, যেখানে \( x < 0 \)):
\[
\lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = \lim_{x \to 0^-} -1 = -1
\]
যেহেতু ডানদিকের সীমা (Right-hand limit) এবং বামদিকের সীমা (Left-hand limit) পরস্পর সমান নয়, তাই \( \lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x} \) এর অস্তিত্ব নেই। 😥
অতএব, উত্তর: লিমিটের অস্তিত্ব নেই।✅
