Another Explanation (5): সমাধান:
প্রদত্ত ইন্টেগ্রাল হলো:
\[
\int \frac{\sin 2x}{\sqrt{10 + \sin^2 x}} \, dx
\]
প্রথমে, \(\sin 2x\) কে রূপান্তর করি:
\[
\sin 2x = 2 \sin x \cos x
\]
অতঃপর,
\[
\int \frac{2 \sin x \cos x}{\sqrt{10 + \sin^2 x}} \, dx
\]
এখন, \(\sin x = t\), তাই:
\[
dt = \cos x \, dx \implies dx = \frac{dt}{\cos x}
\]
তাই, উপরের ইন্টেগ্রালটি হয়:
\[
\int \frac{2 t \cos x}{\sqrt{10 + t^2}} \cdot \frac{dt}{\cos x} = 2 \int \frac{t}{\sqrt{10 + t^2}} \, dt
\]
এখন, আমাদের মূল সমস্যা হলো:
\[
I = \int \frac{t}{\sqrt{10 + t^2}} \, dt
\]
এখানে, substitution করি:
\[
u = 10 + t^2 \Rightarrow du = 2 t \, dt
\]
অর্থাৎ,
\[
t \, dt = \frac{du}{2}
\]
সুতরাং,
\[
I = \int \frac{t}{\sqrt{u}} \, dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} \, du
\]
এটি হয়:
\[
I = \frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} \, du
\]
এটি সমাধান করি:
\[
I = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = u^{\frac{1}{2}} + C
\]
অর্থাৎ,
\[
I = \sqrt{u} + C = \sqrt{10 + t^2} + C
\]
মূল \(t = \sin x\), তাই:
\[
I = \sqrt{10 + \sin^2 x} + C
\]
অতএব, মূল ইন্টেগ্রাল হলো:
\[
\int \frac{\sin 2x}{\sqrt{10 + \sin^2 x}} \, dx = 2 \times \sqrt{10 + \sin^2 x} + C
\]
**উত্তর:**
2 \sqrt{10 + \sin^2 x} + C
