Another Explanation (5): প্রথম সমীকরণ:
\[
a_1 x^2 + b_1 x + c_1 = 0
\]
দ্বিতীয় সমীকরণ:
\[
a_2 x^2 + b_2 x + c_2 = 0
\]
ধরি, উভয় সমীকরণের মূলই সাধারণ। অর্থাৎ, উভয় সমীকরণের মূল একই। যদি মূলগুলো সাধারণ হয়, তাহলে উভয় সমীকরণের মূলের জন্য সমাধানগুলো সমান হবে।
উভয় সমীকরণের মূলগুলো হলো:
\[
x = \frac{-b_1 \pm \sqrt{b_1^2 - 4 a_1 c_1}}{2 a_1}
\]
এবং
\[
x = \frac{-b_2 \pm \sqrt{b_2^2 - 4 a_2 c_2}}{2 a_2}
\]
যেহেতু মূলগুলো সাধারণ, তাই এই দুটি সমীকরণের মূলগুলো অবশ্যই সমান। এর মানে:
\[
\frac{-b_1 + \sqrt{b_1^2 - 4 a_1 c_1}}{2 a_1} = \frac{-b_2 + \sqrt{b_2^2 - 4 a_2 c_2}}{2 a_2}
\]
এবং
\[
\frac{-b_1 - \sqrt{b_1^2 - 4 a_1 c_1}}{2 a_1} = \frac{-b_2 - \sqrt{b_2^2 - 4 a_2 c_2}}{2 a_2}
\]
উপরের দুটি সমীকরণ থেকে, যদি মূলগুলো সাধারণ হয়, তবে নিম্নলিখিত শর্তটি প্রযোজ্য হবে:
\[
\frac{b_1}{b_2} = \frac{a_1}{a_2} = \frac{c_1}{c_2}
\]
কারণ, সমান মূলের জন্য অপ্রকাশ্য সমীকরণগুলো থেকে এই অনুপাতগুলো সমান হতে হবে।
অতএব, এই ফলাফলটি লেখা যায়:
\[
\boxed{\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}}
\]
এই শর্তটি নিশ্চিত করে যে, উভয় সমীকরণের মূলগুলো সাধারণ।
