Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্ন: সমীকরণ \( 2x^3 + 3x^2 - 5x - 6 = 0 \) এর মূল \(a, b, c\)। আমাদেরকে \(a^2 + b^2 + c^2\) এর মান নির্ণয় করতে হবে।
ধাপ ১: মূলের সম্পর্ক (Vieta's সূত্র)
সমীকরণটি ত্রৈমাসিক, যেখানে:
\[
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
\]
এখানে, \(a=2\), \(b=3\), \(c=-5\), \(d=-6\)।
Vieta's সূত্র অনুযায়ী:
\[
a + b + c = -\frac{b}{a}
\]
\[
ab + ac + bc = \frac{c}{a}
\]
\[
abc = -\frac{d}{a}
\]
সুতরাং:
\[
a + b + c = -\frac{3}{2}
\]
\[
ab + ac + bc = \frac{-5}{2}
\]
\[
abc = -\frac{-6}{2} = 3
\]
ধাপ ২: \(a^2 + b^2 + c^2\) এর মান নির্ণয়
আমরা জানি:
\[
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)
\]
সুতরাং:
\[
a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + ac + bc)
\]
মূল্য স্থানান্তর করলে:
\[
a^2 + b^2 + c^2 = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 - 2 \times \left(-\frac{5}{2}\right)
\]
গণনা করি:
\[
a^2 + b^2 + c^2 = \frac{9}{4} + \frac{10}{2}
\]
এখানে, \(\frac{10}{2} = 5\), তাই:
\[
a^2 + b^2 + c^2 = \frac{9}{4} + 5
\]
\[
= \frac{9}{4} + \frac{20}{4} = \frac{29}{4}
\]
অতএব, মূল \(a, b, c\) এর বর্গের যোগফল হল:
উত্তর:
\(\boxed{\frac{29}{4}}\)
