কোনটি দ্যা মরগানের উপপাদ্য?

দ্যা মরগানের উপপাদ্য (De Morgan's Theorem)

প্রদত্ত:

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

এটি মূলত সেট থিওরির একটি গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য। নিচে এর প্রমাণ দেখানো হলো:

প্রমাণ:

একটি সেট X এর জন্য, A এবং B সেট,

• প্রথমত, আমাদের বলতে হবে যে দুটি দিকই সমান কি না। অর্থাৎ,
• প্রমাণের জন্য, আমরা দেখাবো যে:
  (A ∩ B)' ⊆ A' ∪ B' এবং
  A' ∪ B' ⊆ (A ∩ B)'

প্রথম দিক:

ধরা যাক, x ∈ (A ∩ B)', অর্থাৎ, x ∉ A ∩ B।
অর্থাৎ, x ∉ A বা x ∉ B।
অতএব, x ∈ A' বা x ∈ B'।
অর্থাৎ, x ∈ A' ∪ B'।
সুতরাং, (A ∩ B)' ⊆ A' ∪ B'.

দ্বিতীয় দিক:

ধরা যাক, x ∈ A' ∪ B', অর্থাৎ, x ∈ A' বা x ∈ B'।
অর্থাৎ, x ∉ A বা x ∉ B।
অতএব, x ∉ A ∩ B।
অর্থাৎ, x ∈ (A ∩ B)'.
সুতরাং, A' ∪ B' ⊆ (A ∩ B)'.

উপসংহার:

উভয় দিক থেকেই সেটের অন্তর্ভুক্তির প্রমাণ পাওয়া গেল, তাই:

(A ∩ B)' = A' ∪ B'