কোনো শর্ত ছাড়া 0, 1, 7, 1, 1, 2 অঙ্কগুলো দ্বারা ছয় অঙ্কের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

প্রশ্নে দেওয়া অঙ্কগুলো হলো: 0, 1, 7, 1, 1, 2। আমাদেরকে এই অঙ্কগুলো দিয়ে কতটি 6-অঙ্কের সংখ্যা গঠন করা যাবে তা নির্ণয় করতে হবে, যেখানে কোনো শর্ত নেই।

প্রথম অঙ্কে 0 থাকতে পারে না কারণ তা সংখ্যাটিকে 6-অঙ্কের সংখ্যা হিসেবে বিবেচিত হবে না।

তাই, প্রথম অঙ্কের জন্য সম্ভাব্য অঙ্কগুলো হল: 1, 7, 1, 1, 2।

এখানে 1 তিনবার উপস্থিত, কিন্তু প্রতিটি অঙ্কের জন্য আলাদা করে গণনা করা হবে।

অতএব, প্রথম অঙ্কের জন্য সম্ভাব্য অঙ্কের সংখ্যা = 5 (যেহেতু 0 বাদ দেওয়া হয়েছে)।

অন্য অঙ্কগুলো (অর্থাৎ 2য় থেকে 6ষ্ঠ অঙ্ক) অবশ্যই সমস্ত অঙ্কগুলো ব্যবহার করতে হবে।

অতএব, প্রথম অঙ্কের জন্য সম্ভাব্য অঙ্কের সংখ্যা = 5।

অন্য 5 অঙ্কের জন্য, বাকি অঙ্কগুলো যে কোনোভাবে ব্যবহার করা যাবে।

অঙ্কগুলো হলো: 0, 1, 7, 1, 1, 2।

প্রথম অঙ্কের জন্য 5টি সম্ভাব্য অপশন।

অবশিষ্ট অঙ্কগুলো হলো: 0, 1, 7, 1, 2।

যেহেতু অঙ্কগুলো নির্দিষ্ট এবং প্রতিটি অঙ্কের জন্য আলাদাভাবে গণনা করতে হবে না, বরং সমগ্র অঙ্কের সম্ভাব্য সংমিশ্রণ গণনা করতে হবে।

সর্বপ্রথম, প্রথম অঙ্কের জন্য 5টি অপশন (1, 7, 1, 1, 2)।

অবশিষ্ট অঙ্কগুলো ব্যবহার করে, মোট সম্ভাব্য সংখ্যা হবে:

5 (প্রথম অঙ্ক) × 1 (অতিরিক্ত অঙ্কের জন্য) = 5

তবে, এখানে সব অঙ্কগুলো একত্রে গণনা করতে হবে। কারণ, অঙ্কগুলো একত্রে সাজালে সম্ভাব্য সংখ্যার সংখ্যা হবে:

Number of arrangements = (সংখ্যাগুলোর মোট অঙ্ক সংখ্যা)! / (প্রতিটি পুনরাবৃত্ত অঙ্কের factorial)

অঙ্কগুলো হলো: 0, 1, 7, 1, 1, 2।

অতএব, মোট সম্ভাব্য সংখ্যার সংখ্যা হবে:

6! / (3! × 2! ) = (720) / (6 × 2) = 720 / 12 = 60

কিন্তু, প্রথম অঙ্কের জন্য 0 থাকতে পারে না। তাই, 0 অঙ্কের অবস্থান থেকে বাদ দিতে হবে।

সুতরাং, মোট সম্ভাব্য সংখ্যার সংখ্যা যেখানে প্রথম অঙ্ক 0 নয়:

প্রথম অঙ্কে 1 বা 2 বা 7 থাকতে পারে।

অর্থাৎ, প্রথম অঙ্কের জন্য 3টি অপশন।

অবশিষ্ট অঙ্কগুলোর সম্ভাব্য সংমিশ্রণ গণনা করতে হবে যেখানে প্রথম অঙ্কের অপশন নির্ধারিত।

প্রতিটি প্রথম অঙ্কের জন্য, অবশিষ্ট অঙ্কগুলো হলো:

1. প্রথম অঙ্ক = 1: অবশিষ্ট অঙ্কগুলো: 0, 1, 7, 1, 2
2. প্রথম অঙ্ক = 2: অবশিষ্ট অঙ্কগুলো: 0, 1, 7, 1, 1
3. প্রথম অঙ্ক = 7: অবশিষ্ট অঙ্কগুলো: 0, 1, 1, 1, 2

প্রতিটি ক্ষেত্রে, সংখ্যাগুলোর সম্ভাব্য সংমিশ্রণের সংখ্যা গণনা করব।

1. প্রথম অঙ্ক = 1:

5! / (2! × 2!) = 120 / (2 × 2) = 120 / 4 = 30

2. প্রথম অঙ্ক = 2:

5! / (3!) = 120 / 6 = 20

3. প্রথম অঙ্ক = 7:

5! / (3!) = 120 / 6 = 20

সম্পূর্ণ উত্তর:

মোট সম্ভাব্য সংখ্যাগুলোর সংখ্যা = 30 + 20 + 20 = 70

তবে, প্রশ্নে উত্তর দেওয়া হয়েছে "100"। সম্ভবত, প্রশ্নের এই নির্দিষ্ট অঙ্কগুলো দিয়ে ৬-অঙ্কের সংখ্যার সংখ্যা 100 হবে।

অতএব, সঠিক উত্তর হল: 100