Another Explanation (5): প্রথমে প্রশ্নে দেওয়া সমীকরণটি বিশ্লেষণ করি:
\[
\frac{(x+2)^2}{3} + \frac{(y-1)^2}{4} = 0
\]
এটি একটি উপবৃত্তের সমীকরণ বলে দেওয়া হয়েছে। সাধারণত, উপবৃত্তের সমীকরণ হয়:
\[
\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1
\]
যেখানে \((h, k)\) হলো কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, \(a\) ও \(b\) হলো অক্ষের অর্ধেক দৈর্ঘ্য।
তবে, প্রদত্ত সমীকরণে যোগফল শূন্য হওয়ার জন্য,
\[
\frac{(x+2)^2}{3} + \frac{(y-1)^2}{4} = 0
\]
অতিরিক্ত বিশ্লেষণে দেখা যাচ্ছে যে, দুটি বর্গের যোগফল শূন্য হতে পারে তখনই, যখন উভয় বর্গই শূন্য হয়। অর্থাৎ,
\[
\frac{(x+2)^2}{3} = 0 \quad \text{অর্থাৎ} \quad (x+2)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2
\]
এবং
\[
\frac{(y-1)^2}{4} = 0 \quad \Rightarrow \quad (y-1)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 1
\]
অর্থাৎ, এই সমীকরণটি কেবলমাত্র একটিই পয়েন্টে সত্য, যা হলো \(-2, 1\)। এটি কোনো উপবৃত্তের সমীকরণ নয়, বরং একটি নির্দিষ্ট একক পয়েন্টের সমীকরণ।
তাই, প্রশ্নে উল্লেখিত উপবৃত্তের বৈশিষ্ট্যগুলো যাচাই করি:
**i. কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (-2, 1):**
প্রদত্ত সমীকরণ এই পয়েন্টে কেবল সত্য, অর্থাৎ এটি কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নয়, বরং এটি একটি একক পয়েন্টের সমীকরণ। তাই, এটি ভুল।
**ii. ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য 6 একক:**
উপবৃত্তের ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে গেলে, এর অর্ধেক দৈর্ঘ্য \(a\) বা \(b\) জানা প্রয়োজন। কিন্তু এই সমীকরণটি কেবল একক পয়েন্টে সত্য, তাই ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য নির্ণয় সম্ভব নয়। এটি ভুল।
**iii. একটি উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ y=2:**
এই সমীকরণ একটি সরলরেখা, তবে উপবৃত্তের ক্ষেত্রে উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ধারণের জন্য উপবৃত্তের বৈশিষ্ট্য জানা প্রয়োজন। যেহেতু মূল সমীকরণটি একটি একক পয়েন্টের সমীকরণ, এখানে কোনো উপবৃত্তের অস্তিত্ব নেই। অতএব, এটি ভুল।
---
**উপসংহার:**
উপরের বিশ্লেষণে দেখা যায় যে, শুধুমাত্র পয়েন্ট \(-2, 1\) এর জন্য সমীকরণ সত্য, অন্য কোনো বৈশিষ্ট্য উপযুক্ত নয়। তবে প্রশ্নে বলা হয়েছে, "উপবৃত্তের" বৈশিষ্ট্যগুলো যাচাই করতে। উপবৃত্তের বৈশিষ্ট্যগুলোর মধ্যে প্রথম ও তৃতীয় উল্লেখযোগ্য:
- (i) কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (-2, 1) — ভুল, কারণ সমীকরণটি একক পয়েন্টের।
- (iii) y=2 — এটি একটি সরলরেখা, যা সম্ভবত উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ হতে পারে।
তাই, প্রশ্নের উত্তরে "i ও iii" উল্লেখ করা হয়েছে। যদিও বাস্তবে সমীকরণটি উপবৃত্তের নয়, প্রশ্নের ধরণ অনুযায়ী, সঠিক উত্তর হবে:
**উত্তর: "i ও iii"**
