y = x + 1 রেখাটি x^2/a^2 - y^2/ b^2 অধিবৃত্তকে স্পর্শ করলে নিচের কোনটি সঠিক?
Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রদত্ত রেখাটি হলো: \( y = x + 1 \)
প্রদত্ত অধিবৃত্ত: \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)
রেখাটির অধিবৃত্তের সাথে স্পর্শ করতে হলে, রেখার সঙ্গে অধিবৃত্তের টানেন্টের সমীকরণে সমাধান একমাত্র হওয়া দরকার। অর্থাৎ, রেখা ও অধিবৃত্তের সমীকরণের সমাধানে একমাত্র সমাধান পাওয়া যাবে।
প্রথমে, \( y = x + 1 \) কে অধিবৃত্তের সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি:
\[
\frac{x^2}{a^2} - \frac{(x + 1)^2}{b^2} = 1
\]
বিস্তৃতি করি:
\[
\frac{x^2}{a^2} - \frac{x^2 + 2x + 1}{b^2} = 1
\]
সমন্বয় করি:
\[
\frac{x^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} - \frac{2x}{b^2} - \frac{1}{b^2} = 1
\]
একত্র করি সমস্ত \(x\) সংশ্লিষ্ট টার্ম:
\[
\left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right) x^2 - \frac{2x}{b^2} - \frac{1}{b^2} - 1 = 0
\]
এখন, এই সমীকরণটি \(x\)-এর উপর কুইড্র্যাটিক। স্পর্শের শর্ত হলো, এই সমীকরণের discriminant = 0:
\[
D = \left(- \frac{2}{b^2}\right)^2 - 4 \left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right) \left(- \frac{1}{b^2} - 1\right) = 0
\]
প্রথমে, discriminant গণনা করি:
\[
D = \frac{4}{b^4} - 4 \left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right) \left(- \frac{1}{b^2} - 1\right)
\]
ধরি:
\[
\left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right) = \frac{b^2 - a^2}{a^2 b^2}
\]
এবং,
\[
- \frac{1}{b^2} - 1 = - \frac{1}{b^2} - \frac{b^2}{b^2} = - \frac{1 + b^2}{b^2}
\]
সুতরাং,
\[
D = \frac{4}{b^4} - 4 \times \frac{b^2 - a^2}{a^2 b^2} \times \left(- \frac{1 + b^2}{b^2}\right)
\]
গুণ করি:
\[
D = \frac{4}{b^4} + 4 \times \frac{b^2 - a^2}{a^2 b^2} \times \frac{1 + b^2}{b^2}
\]
সমন্বয় করি:
\[
D = \frac{4}{b^4} + 4 \times \frac{(b^2 - a^2)(1 + b^2)}{a^2 b^4}
\]
দুটি টার্মের সাধারণ ডিনোমিনেটর হলো \(a^2 b^4\), তাই:
\[
D = \frac{4 a^2}{a^2 b^4} + \frac{4 (b^2 - a^2)(1 + b^2)}{a^2 b^4}
\]
একসাথে লিখলে:
\[
D = \frac{4 a^2 + 4 (b^2 - a^2)(1 + b^2)}{a^2 b^4}
\]
সুতরাং,
\[
D = 0 \Rightarrow 4 a^2 + 4 (b^2 - a^2)(1 + b^2) = 0
\]
বিন্যাস করি:
\[
a^2 + (b^2 - a^2)(1 + b^2) = 0
\]
বিস্তৃতি করি:
\[
a^2 + (b^2 - a^2) + (b^2 - a^2) b^2 = 0
\]
\[
a^2 + b^2 - a^2 + b^2 (b^2 - a^2) = 0
\]
সরালে:
\[
b^2 + b^2 (b^2 - a^2) = 0
\]
বিন্যাস করি:
\[
b^2 + b^2 \times b^2 - b^2 \times a^2 = 0
\]
\[
b^2 + b^4 - a^2 b^2 = 0
\]
আসুন এই সমীকরণ থেকে \(a^2\) এর মান নির্ণয় করি:
\[
b^2 + b^4 = a^2 b^2
\]
উভয় পাশে \(b^2\) দিয়ে ভাগ করি (যখন \(b \neq 0\)):
\[
\frac{b^2}{b^2} + \frac{b^4}{b^2} = a^2
\]
\[
1 + b^2 = a^2
\]
অর্থাৎ,
\[
a^2 = 1 + b^2
\]
এখানে, \(a^2 - b^2 = 1\)
**অতএব, সঠিক উত্তর হলো:**
\[
\boxed{a^2 - b^2 = 1}
\]
