intdx/(9-4x^2 = ? 

Explanation:

Another Explanation (5): প্রশ্ন: ∫ dx/(9-4x²) = ? সমাধান: আমরা এই ইন্টিগ্রালটিকে \(a^2 - x^2\) আকারের ইন্টিগ্রালে রূপান্তর করার চেষ্টা করব। ∫ dx/(9-4x²) = ∫ dx/[4(9/4 - x²)] = (1/4) ∫ dx/[(3/2)² - x²] আমরা জানি, ∫ dx/(a² - x²) = (1/a) tanh⁻¹(x/a) + C অথবা, ∫ dx/(a² - x²) = (1/2a) ln|(a+x)/(a-x)| + C এখানে, a = 3/2 সুতরাং, (1/4) ∫ dx/[(3/2)² - x²] = (1/4) * [1/(2*(3/2))] ln|((3/2)+x)/((3/2)-x)| + C = (1/4) * (1/3) ln|((3+2x)/2)/((3-2x)/2)| + C = (1/12) ln|(3+2x)/(3-2x)| + C এখন, অপশনটিতে \(sin^{-1}\) আছে, তাই অন্যভাবে করার চেষ্টা করি: ধরি, 2x = 3sinθ তাহলে, x = (3/2)sinθ dx = (3/2)cosθ dθ সুতরাং, ∫ dx/(9-4x²) = ∫ (3/2)cosθ dθ / (9 - 4*(9/4)sin²θ) = ∫ (3/2)cosθ dθ / (9 - 9sin²θ) = ∫ (3/2)cosθ dθ / [9(1 - sin²θ)] = ∫ (3/2)cosθ dθ / (9cos²θ) = (3/2)/9 ∫ cosθ/cos²θ dθ = (1/6) ∫ (1/cosθ) dθ = (1/6) ∫ secθ dθ = (1/6) ln|secθ + tanθ| + C যেহেতু, 2x = 3sinθ, sinθ = (2x/3) cosθ = √(1 - sin²θ) = √(1 - (4x²/9)) = (1/3)√(9 - 4x²) tanθ = sinθ/cosθ = (2x/3) / [(1/3)√(9 - 4x²)] = 2x/√(9 - 4x²) secθ = 1/cosθ = 3/√(9 - 4x²) সুতরাং, (1/6) ln|3/√(9 - 4x²) + 2x/√(9 - 4x²)| + C = (1/6) ln|(3 + 2x)/√(9 - 4x²)| + C = (1/6) ln|(3 + 2x)/√(3 - 2x)(3 + 2x)| + C = (1/6) ln|√(3 + 2x)/√(3 - 2x)| + C = (1/12) ln|(3 + 2x)/(3 - 2x)| + C যদি উত্তরটি \(sin^{-1}\) আকারে প্রকাশ করতে হয়: আমরা জানি, ∫ dx/√(a² - x²) = sin⁻¹(x/a) + C এখানে, ইন্টিগ্রালটি হল ∫ dx/(9 - 4x²) = ∫ dx/[4((9/4) - x²)] = (1/4) ∫ dx/((3/2)² - x²) এখন, ধরি 2x/3 = sinθ, তাহলে x = (3/2)sinθ, dx = (3/2)cosθ dθ ∫ dx/(9-4x²) = ∫ (3/2)cosθ dθ / (9 - 9sin²θ) = 1/6 ∫ secθ dθ অন্যভাবে: ∫ dx/(a² - x²) = (1/2a) ln|(a+x)/(a-x)| + C (1/4) ∫ dx/((3/2)² - x²) = (1/4) * (1/(2*(3/2))) ln|((3/2)+x)/((3/2)-x)| + c = 1/12 ln|(3+2x)/(3-2x)| + c প্রদত্ত উত্তরটি হল: (1/2)sin⁻¹((2x)/3) + k এটা সঠিক নয়। 🤔 সঠিক উত্তর: (1/12) ln|(3+2x)/(3-2x)| + C অথবা অন্য রূপে প্রকাশ করা যায়।