f(x)=e^-2x

 lim_(x->0)(f(x)-1)/x=?

সমাধান:

প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে:

\(f(x) = e^{-2x}\)

আমাদের জানতে চাওয়া হয়েছে:

\(\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - 1}{x}\)

ধাপ ১: f(x) এর মান নির্ণয় করুন যখন \(x \to 0\):

\(f(0) = e^{0} = 1\)

ধাপ ২: লিমিটের জন্য ল্যাম্বডা নিয়ম প্রয়োগ করুন:

যেহেতু \(f(0) = 1\), তাই আমরা দেখতে পারি:

\(\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}\)

এটি আসলে \(f(x)\) এর ডেরিভেটিভের মান যখন \(x \to 0\):

\(\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = f'(0)\)

ধাপ ৩: \(f(x)\) এর ডেরিভেটিভ নির্ণয় করুন:

\(f(x) = e^{-2x}\)

তাহলে,

\(f'(x) = \frac{d}{dx} e^{-2x} = -2 e^{-2x}\)

ধাপ ৪: \(x \to 0\) এর সময় ডেরিভেটিভের মান নির্ণয় করুন:

\(f'(0) = -2 e^{0} = -2 \times 1 = -2\)

উপসংহার:

অতএব,

\(\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - 1}{x} = f'(0) = -2\)

অতএব, উত্তর হলো: -2