\( (2x²+1x²-2\sqrt{2})^{12} \) এর বিস্তৃতিতে ধ্রুবক পদটি কত?

প্রশ্ন: \( (2x^2 + \frac{1}{x^2} - 2\sqrt{2})^{12} \) এর বিস্তৃতিতে ধ্রুবক পদটি কত?

ধরি, \(a = 2x^2\), \(b = \frac{1}{x^2}\) এবং \(c = -2\sqrt{2}\)।

তাহলে, রাশিটি হলো \( (a + b + c)^{12} \)।

এই বিস্তৃতির সাধারণ পদটি হবে:

\(\frac{12!}{p!q!r!} a^p b^q c^r\), যেখানে \(p + q + r = 12\).

ধ্রুবক পদের জন্য, \(x\) এর ঘাত 0 হতে হবে।

সুতরাং, \(2p - 2q = 0 \Rightarrow p = q\).

যেহেতু \(p + q + r = 12\), তাই \(2p + r = 12\).

সুতরাং, \(r = 12 - 2p\).

যেহেতু \(p, q, r\) অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা, \(p\) এর সম্ভাব্য মানগুলো হলো \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\)।

সাধারণ পদটি হবে:

\(\frac{12!}{p!p!(12-2p)!} (2x^2)^p (\frac{1}{x^2})^p (-2\sqrt{2})^{12-2p}\)

\(=\frac{12!}{p!p!(12-2p)!} 2^p (-2\sqrt{2})^{12-2p}\)

\(=\frac{12!}{p!p!(12-2p)!} 2^p (-1)^{12-2p} 2^{\frac{3}{2}(12-2p)}\)

\(=\frac{12!}{p!p!(12-2p)!} 2^p 2^{18-3p}\)

\(=\frac{12!}{p!p!(12-2p)!} 2^{18-2p}\)

এখন, \(p\) এর বিভিন্ন মানের জন্য পদগুলো বের করি:

• \(p=0\): \(\frac{12!}{0!0!12!} 2^{18} = 2^{18}\)
• \(p=1\): \(\frac{12!}{1!1!10!} 2^{16} = 12 \cdot 11 \cdot 2^{16}\)
• \(p=2\): \(\frac{12!}{2!2!8!} 2^{14} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4} 2^{14} = 12 \cdot 11 \cdot 5 \cdot 9 \cdot 2^{14}\)
• \(p=3\): \(\frac{12!}{3!3!6!} 2^{12} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{6 \cdot 6} 2^{12} = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \frac{1}{36} \cdot 2^{12}\)
• \(p=4\): \(\frac{12!}{4!4!4!} 2^{10}\)
• \(p=5\): \(\frac{12!}{5!5!2!} 2^{8}\)
• \(p=6\): \(\frac{12!}{6!6!0!} 2^{6}\)

ধ্রুবক পদটি হবে এই পদগুলোর যোগফল।

প্রদত্ত উত্তর \( {24 \choose 12} 2^6 \) সঠিক নয়।

সঠিক উত্তর বের করার জন্য উপরের সবগুলো পদের মান বের করে যোগ করতে হবে।