Another Explanation (5): প্রশ্ন: কোন সমবাহু ত্রিভূজের এক কৌণিক বিন্দুতে দুই বাহু বরাবর দুটি বল \( p \) এবং \( 2p \) ক্রিয়া করে, বল দুটির লব্ধি কত?
সমাধান:
ধরা যাক, সমবাহু ত্রিভূজের কোণ \( A \), যেখানে \( A \) কৌণিক। ত্রিভূজের অন্য দুই কোণ হল \( B \) এবং \( C \)।
ধরা যাক, কৌণিক বিন্দু \( A \) থেকে বাহুগুলোর উপর বলগুলো প্রয়োগ করা হয়েছে। বলগুলো \( p \) এবং \( 2p \) বলের দিক এবং মান অনুযায়ী।
আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভূজের দুটি বাহু সমান এবং তাদের মধ্যে কোণ \( \theta \) এর জন্য:
\[
\text{Resultant force } R = \sqrt{p^2 + (2p)^2 + 2 \times p \times 2p \times \cos \theta}
\]
এখানে, বল দুটির লব্ধি বা ফলাফল বলের মান নির্ণয় করতে হলে, প্রথমে বল দুটির মধ্যবর্তী কোণ \( \theta \) নির্ণয় করতে হবে।
দুটি বলের লব্ধি বল \( R \) এর মান:
\[
R = \sqrt{p^2 + (2p)^2 + 2 \times p \times 2p \times \cos \theta}
\]
\[
R = \sqrt{p^2 + 4p^2 + 4p^2 \cos \theta}
\]
\[
R = \sqrt{5p^2 + 4p^2 \cos \theta}
\]
এখন, বলের দিক নির্ণয় করতে, আমরা দিকের কোণের জন্য ট্যানজেন্ট ব্যবহার করব। বলের দিকের লব্ধি বা কোণের মানে:
\[
\tan \phi = \frac{\text{অনুভূমিক উপাদান}}{\text}: \text{উল্লম্ব উপাদান}
\]
প্রতিটি বলের উপাদান নির্ণয়:
- বল \( p \): দিক \( \alpha \)
- বল \( 2p \): দিক \( \beta \)
তাদের উপাদান:
\[
\text{Horizontal component} = p \cos \alpha + 2p \cos \beta
\]
\[
\text{Vertical component} = p \sin \alpha + 2p \sin \beta
\]
তবে, প্রশ্নে বলগুলো কিভাবে দিক নির্ণয় করা হয়েছে তা স্পষ্ট নয়। সাধারণত, যদি বলগুলো এক বিন্দুতে দুটি বাহুর বরাবর প্রয়োগ হয় এবং তাদের দিক নির্দিষ্ট হয়, তাহলে তাদের লব্ধি বা resultant এর দিক:
\[
\text{Resultant } R \text{ এর কোণ } \phi \text{ নির্ণয় করতে:}
\]
\[
\tan \phi = \frac{\text{Vertical component}}{\text{Horizontal component}}
\]
এখন, বল দুটির দিকের কোণ হয়:
- বল \( p \) এর দিক \( 0^\circ \) (উপরে)
- বল \( 2p \) এর দিক \( 60^\circ \) (উপরে, হরিজন্টাল থেকে)
তাদের উপাদান:
\[
\text{Vertical component} = p \sin 0^\circ + 2p \sin 60^\circ = 0 + 2p \times \frac{\sqrt{3}}{2} = p \sqrt{3}
\]
\[
\text{Horizontal component} = p \cos 0^\circ + 2p \cos 60^\circ = p \times 1 + 2p \times \frac{1}{2} = p + p = 2p
\]
অতএব,
\[
\tan \phi = \frac{p \sqrt{3}}{2p} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
তাই,
\[
\phi = \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)
\]
আর, বলের লব্ধি বা ফলাফল বলের মান:
\[
R = \sqrt{(p + p)^2 + (p \sqrt{3})^2} = \sqrt{(2p)^2 + 3p^2} = \sqrt{4p^2 + 3p^2} = \sqrt{7p^2} = p \sqrt{7}
\]
এবং ফলাফল বলের দিকের কোণ:
\[
\boxed{\text{লব্ধি } R = p \sqrt{7} \quad \text{এবং এর দিক } \phi = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}
\]
উপসংহার:
উত্তর হিসেবে,
\[
\boxed{\sqrt{7} p, \quad \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}
\]
অথবা HTML কোডে রূপান্তর:
```html
লব্ধি বলের মান: \sqrt{7} p
বলের দিকের কোণ: \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)
```
**অর্থাৎ,**
**লব্ধি = \(\sqrt{7} p\)**
**কোণ = \(\tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)\)**
