যদি কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমহারে বৃদ্ধি পায়, তবে তার ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার ব্যাসার্ধের-

বৃত্তের ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার

প্রশ্ন: যদি কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমহারে বৃদ্ধি পায়, তবে তার ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার ব্যাসার্ধের-

উত্তর: সমানুপাতিক

ব্যাখ্যা:

ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(r\) এবং ক্ষেত্রফল \(A\)।

আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল, \(A = \pi r^2\)

ক্ষেত্রফলের পরিবর্তনের হার \(\frac{dA}{dt}\) নির্ণয় করতে হবে। \(t\) এর সাপেক্ষে \(A\) কে অন্তরীকরণ করি।

\(\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt} (\pi r^2)\)

\(\frac{dA}{dt} = \pi \frac{d}{dt} (r^2)\)

\(\frac{dA}{dt} = \pi \cdot 2r \cdot \frac{dr}{dt}\) (চেইন রুল ব্যবহার করে)

\(\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}\)

যেহেতু ব্যাসার্ধ সমহারে বৃদ্ধি পায়, তাই \(\frac{dr}{dt}\) একটি ধ্রুবক। ধরি, \(\frac{dr}{dt} = k\), যেখানে \(k\) একটি ধ্রুবক।

সুতরাং, \(\frac{dA}{dt} = 2\pi r k\)

\(\frac{dA}{dt} = (2\pi k) r\)

যেহেতু \(2\pi k\) একটি ধ্রুবক, তাই আমরা লিখতে পারি:

\(\frac{dA}{dt} \propto r\)

অতএব, ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার \(\(\frac{dA}{dt}\)\) ব্যাসার্ধ \(r\) এর সমানুপাতিক। 🥳🎉