Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(k\) এর কোন মানের জন্য \((x - y + 3)^2 + (kx + 2)(y - 1) = 0\) সমীকরণটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করে?
সমাধান:
প্রথমে সমীকরণটি লিখি:
\[
(x - y + 3)^2 + (kx + 2)(y - 1) = 0
\]
বর্গের প্রথম অংশটি বিস্তার করি:
\[
(x - y + 3)^2 = x^2 - 2xy + y^2 + 6x - 6y + 9
\]
অপর অংশটি বিস্তার করি:
\[
(kx + 2)(y - 1) = kx y - kx + 2 y - 2
\]
অতএব, সমীকরণটি হয়:
\[
x^2 - 2xy + y^2 + 6x - 6y + 9 + kx y - kx + 2 y - 2 = 0
\]
সংগঠিত করি:
\[
x^2 + y^2 + (-2xy + kx y) + (6x - kx) + (-6y + 2 y) + (9 - 2) = 0
\]
সরলীকরণ করি:
\[
x^2 + y^2 + y x (k - 2) + x (6 - k) + y (-4) + 7 = 0
\]
এখন, সমীকরণটি হলো:
\[
x^2 + y^2 + (k - 2) xy + (6 - k) x - 4 y + 7 = 0
\]
একটি বৃত্তের সমীকরণের সাধারণ রূপ:
\[
x^2 + y^2 + 2 g x + 2 f y + c = 0
\]
অর্থাৎ, সমীকরণের \(xy\) যৌগিক সদস্য না থাকলে বা যদি থাকলেও, এর কোঅর্ডিনেট গুণফল নির্ণয় করে বৃত্তের জন্য শর্ত নির্ণয় করতে হয়। তবে, বৃত্তের জন্য, সমীকরণের \(x y\) সদস্যের গুণফল শূন্য হওয়া উচিত অথবা, অর্থাৎ, এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ হবে কেবল তখনই যেখানে:
\[
\text{coefficient of } xy = 0
\]
অর্থাৎ:
\[
k - 2 = 0
\]
\[
k = 2
\]
তাই, \(k=2\) এর জন্য সমীকরণটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করে।
উত্তর: \(\boxed{2}\)
