\( y = 3x^2 \) যদি \( 2x^2 y'' + 5xy' + ky = 0 \) সমীকরণের সমাধান হয় তবে k এর মান কত?

Explanation: Hints: \(y\) এর প্রথম অন্তরীকরণ \(y'\) এবং দ্বিতীয় অন্তরীকরণ \(y''\)। Solve: \(y = 3x^2; \, y' = 6x; \, y'' = 6\) এখন, \(2x^2y'' + 5xy' + ky = 0\) মান বসিয়ে, \(2x^2 \times 6 + 5x \times 6 + k \times 3x^2 = 0 \implies 12x^2 + 30x^2 + 3kx^2 = 0 \implies 42x^2 + 3kx^2 = 0 \implies 42 + 3k = 0 \implies k = -\frac{42}{3} = -14\) Ans. (D) ব্যাখ্যা: উল্লেখিত সমস্যায় \(y\) এর মানকে অন্তরীকরণ করে যে value গুলো প্রয়োজন সেগুলো বের করে প্রদত্ত সমীকরণে বসিয়ে \(k\) এর মান বের করা হয়েছে।

Another Explanation (5): ```html

ধাপ ১: প্রদত্ত ফাংশনটি হলো \( y = 3x^2 \)।

ধাপ ২: প্রথম অন্তরকলন নির্ণয় করি:

\( y' = \frac{dy}{dx} = 6x \)

ধাপ ৩: দ্বিতীয় অন্তরকলন নির্ণয় করি:

\( y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = 6 \)

ধাপ ৪: এখন \( y, y' \) এবং \( y'' \) এর মান \( 2x^2 y'' + 5xy' + ky = 0 \) সমীকরণে বসাই।

\( 2x^2 (6) + 5x (6x) + k (3x^2) = 0 \)

\( 12x^2 + 30x^2 + 3kx^2 = 0 \)

ধাপ ৫: \( x^2 \) কমন নিয়ে পাই,

\( x^2 (12 + 30 + 3k) = 0 \)

\( x^2 (42 + 3k) = 0 \)

যেহেতু \( x^2 \) শুন্য হতে পারে না, তাই \( 42 + 3k = 0 \) হবে।

ধাপ ৬: k এর মান নির্ণয় করি:

\( 3k = -42 \)

\( k = \frac{-42}{3} \)

\( k = -14 \)

অতএব, k এর মান -14। 🎉

```