sin A + cos A = sin B + cos B হলে, A + B = ?

প্রশ্ন: যদি \( \sin A + \cos A = \sin B + \cos B \) হয়, তবে \( A + B \) কত?

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ:

\[ \sin A + \cos A = \sin B + \cos B \]

এখন, আমরা জানি:

\[ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \]

অতএব, সমীকরণটি রূপান্তর করে লিখি:

\[ \sqrt{2} \sin \left( A + \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \sin \left( B + \frac{\pi}{4} \right) \]

দুটি এক্সপ্রেশনের মধ্যে সমতা থাকলে, হয়:

1. প্রথম: \[ \sin \left( A + \frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( B + \frac{\pi}{4} \right) \]

অথবা,

2. \[ \sin \left( A + \frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( \pi - \left( B + \frac{\pi}{4} \right) \right) \]

সমাধান 1:

সাধারণ সাইন সমতুল্যতার জন্য:

\[ A + \frac{\pi}{4} = B + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{অথবা} \quad A + \frac{\pi}{4} = \pi - \left( B + \frac{\pi}{4} \right) + 2k\pi \]

প্রথমটি থেকে:

\[ A = B + 2k\pi \]

দ্বিতীয়টি থেকে:

\[ A + \frac{\pi}{4} = \pi - B - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \]

অর্থাৎ,

\[ A + \frac{\pi}{4} = \pi - B - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \]

এখানে,

\[ A + B = \pi - 2k\pi \]

সমাধান 2:

যেহেতু, প্রথম সমাধানটি সাধারণত প্রাধান্য পায়, তাই,

যখন \( k = 0 \), তখন:

\[ A = B \]

এবং, এই ক্ষেত্রে:

সংখ্যাগুলি যোগ করলে:

\[ A + B = 2A \]

অথবা, আবার, দ্বিতীয় সমাধান থেকে:

\[ A + B = \pi \]

উপসংহার:

প্রথম সমীকরণের জন্য, মূলত:

\[ A + B = \frac{\pi}{2} + k\pi \]

যেখানে, \( k \) একটি পূর্ণসংখ্যা। তবে, সাধারণত মূল সমাধান হিসেবে, \( A + B = \frac{\pi}{2} \) ধরা হয়।

উত্তর:

\( \boxed{\frac{\pi}{2}} \)