Another Explanation (5): প্রশ্ন: অবাস্তব মূল ত্রিকোণমিতিক সমীকরণকে-
i ও ii
নিচের কোনটি সঠিক?
উত্তর: "i ও ii"
সমাধান:
ধরা যাক, একটি অবাস্তব মূল ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ হলো:
\[ \sin \theta = i \]
অথবা,
\[ \cos \theta = i \]
এখন, এই সমীকরণের সমাধান করতে হলে, আমরা বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি।
### 1. সমীকরণে বর্গ করলে:
ধরা যাক, \(\sin \theta = i\)
তাহলে,
\[ \sin^2 \theta = i^2 = -1 \]
অর্থাৎ,
\[ \sin^2 \theta + 1 = 0 \]
অথবা,
\[ \sin^2 \theta = -1 \]
এটি অবাস্তব মূল, কারন বাস্তব সংখ্যার জন্য \(\sin^2 \theta \geq 0\), কিন্তু এখানে \(\sin^2 \theta = -1\)।
### 2. সমীকরণের বর্গমূল করলে:
\(\sin \theta = i\) হলে,
\[ \theta = \sin^{-1} i \]
অথবা,
\[ \theta = \arcsin i \]
এই মানটি অবশ্যই অবাস্তব, কারণ \(\arcsin\) এর অবাস্তব মান হলো:
\[ \arcsin i = i \ln \left(i + \sqrt{1 - i^2} \right) \]
যেখানে,
\[ \sqrt{1 - i^2} = \sqrt{1 - (-1)} = \sqrt{2} \]
অতএব,
\[ \arcsin i = i \ln \left(i + \sqrt{2} \right) \]
এটি অবাস্তব মান।
### উপসংহার:
- **বর্গ করলে**: সমীকরণের মানে \(\sin^2 \theta = -1\), যা অবাস্তব।
- **বর্গমূল করলে**: \(\arcsin i\) এর মানও অবাস্তব।
অতএব, **অবাস্তব মূল সমীকরণকে**
- "সিদ্ধ করা যায় না" (প্রথম ধাপে বর্গ করলে বা বর্গমূল করলে বাস্তব সমাধান পাওয়া যায় না)।
- কিন্তু, **বর্গ করলে বা বর্গমূল করলে** অবাস্তব মান পাওয়া যায়।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো:
```html
উত্তর: i ও ii
```
