6 জন ছাত্র এবং 5 জন ছাত্রী থেকে 5 জনের একটি কমিটি করতে হবে যাতে অন্তঃত একজন ছাত্র ও একজন ছাত্রী অন্তর্ভুক্ত থাকে। কত বিভিন্ন প্রকারে এ কমিটি করা যেতে পারে-

সমাধান:

প্রথমে, মোট ছাত্র এবং ছাত্রী থেকে ৫ জনের কমিটি নির্বাচন করতে হবে যেখানে অন্তত একজন ছাত্র এবং একজন ছাত্রী থাকবে।

ধাপ ১: মোট সম্ভাব্য কমিটি নির্বাচন করুন

মোট ১১ জন (6 ছাত্র + 5 ছাত্রী) থেকে ৫ জন নির্বাচন করতে হবে।

সাধারণ কম্বিনেটরি: \(\binom{11}{5}\)

কিন্তু আমাদের প্রয়োজনীয়তা অনুসারে, কমিটিতে অন্তত একজন ছাত্র ও একজন ছাত্রী থাকতে হবে।

ধাপ ২: অপ্রয়োজনীয় কমিটি বাদ দিন

অপ্রয়োজনীয় কমিটি হলো যেগুলিতে ছাত্র বা ছাত্রী থাকেনা। অর্থাৎ, সব ছাত্র বা সব ছাত্রী থাকলে তা বাদ দিতে হবে।

ধাপ ৩: কমিটি গঠনের সম্ভাব্যতা গণনা

1. কমিটি সব ছাত্র থেকে: \(\binom{6}{5} = 6\)
2. কমিটি সব ছাত্রী থেকে: \(\binom{5}{5} = 1\)

অতএব, অন্তত একজন ছাত্র ও একজন ছাত্রী থাকা কমিটির সংখ্যা:

\(\binom{11}{5} - \left( \binom{6}{5} + \binom{5}{5} \right)\)

ধাপ ৪: গণনা করুন

\( \binom{11}{5} = 462 \)

অতএব, উত্তর:

\[ 462 - (6 + 1) = 462 - 7 = 455 \]

উত্তর:

455